抽象代数
代数学Algebraは、現実世界の問題を解決するために必要だった実用的な技術であった。現代数学では純粋数学の大きな枝の一つとして、今でも暗号理論やトポロジカルデータ分析などの実用的な分野にも応用されている。普通の数学者であれば代数を知らなくても他の勉強が全くできないわけではないが、代数を知っていれば悩む必要のない問題や概念が意外と多い。代数学が得意かどうかにかかわらず、数学界の常識とも言える科目なので、事実中心にでも勉強しておくことを強く推奨する。
二項演算構造
群論
巡回群
対称群
商群
リー群
- リー群
- 一般線形群 $\mathrm{GL}(n)$
- 特殊線形群 $\mathrm{SL}(n)$
- 直交群 $\mathrm{O}(n)$
- ユニタリ群 $\mathrm{U}(n)$
- 特殊ユニタリ群 $\mathrm{SU}(n)$
群の作用
同型定理
環論
多項式
イデアル
整域
加群
代数的微分
- 分数環と分数体
- 微分環 $\left( R, d \right)$
- 微分体 $\left( F, \partial \right)$
- 常微分環と偏微分環 $\left( R , \Delta \right)$
体論
- 体 $F$
- 拡大体とクロネッカーの定理 $F \le E$
- 単純拡大体 $E = F \left( \alpha \right)$
- 抽象代数学におけるベクトル空間
- 代数的拡大体
- 抽象代数の用語で表された代数学の基本定理
- 素体 $\mathbb{Z}_{p}$, $\mathbb{Q}$
- 共役同型写像定理
- 体の自己同型写像 $\text{Auto}$
3大作図不可能問題
ガロア理論
- 最小分解体
- 可分拡大体
- ガロア体 $\text{GF} \left( p^{n} \right)$
- ガロア理論
- 3次方程式の根の公式の導出をただひたすらにフォローする
- 3次方程式の根の公式
- 2次/3次/n次方程式の根と係数の関係
主要参考文献
- Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition)
- Sze-Tsen Hu. (1968). Introduction to Homological Algebra
- Hatcer. (2002). Algebraic Topology
全體ポスト
- 이원수
- 이원수 환 위에서 정의되는 미분가능한 실함수
- 二次方程式の解の公式の導出 ステップ バイ ステップ
- 抽象代数における二項演算
- 抽象代数学における半群
- 抽象代数学におけるモノイド
- 群における単位元と逆元の一意性の証明
- 余弦定理の証明
- 抽象代数学における群
- 抽象代数学における可換群
- 抽象代数学における巡回群
- すべての巡回群が可換群であることを証明
- 巡回群の部分群は巡回群であることを証明
- 抽象代数学における同型
- 全ての巡回群が整数群と同型であることの証明
- 抽象代数学における対称群
- 抽象代数学における無限巡回群
- In Japanese: 抽象代数学における様々な写像
- クラインの四元群
- ケーリーの定理の証明
- 抽象代数学における軌道、巡回、置換
- 偶数でありながら奇数でもある順列は存在しないことの証明
- 抽象代数学における交代群
- 抽象代数学における剰余類と正規部分群
- ソックス-シューズの性質: abの逆元はbの逆元とaの逆元の積と等しい
- 部分群の定義と部分群の判定法
- ラグランジュの定理の証明
- 群のデカルト積
- 抽象代数学における核、カーネル
- 抽象代数学における剰余群
- 群の作用
- 등방部分群
- バーンサイドの公式の導出
- 第一同型定理の証明
- 第2同型定理の証明
- 第三同型定理の証明
- 抽象代数学におけるp-群
- 群論におけるコーシーの定理の証明
- シロフの定理
- 剰余類の性質とその証明
- 部分環の定義と部分環判定法
- 抽象代数学における環
- 環における乗法のルール
- 抽象代数学における体
- ブーリアン環
- 反射と屈折
- 環の単位元が冪等元であれば、直和として表すことができる
- 多項式環
- 多項式の零点
- 除法定理の証明
- 因数定理の証明
- 多項式の既約元
- アイゼンシュタインの判定法
- 抽象代数学におけるイデアル
- 抽象代数学における根基と零根基
- 理想を持つ単元
- 極大イデアル
- 共変イデアル
- メインイデアル
- 拡大体の定義とクロネッカーの定理の証明
- 代数的な数と超越数
- シンプル拡大体
- 実数体から複素数体を作り出す代数的方法
- 抽象代数学におけるベクトル空間
- 代数的拡大体
- 抽象代数で表された代数学の基本定理
- 作図可能数
- 古代の三大作図不可能問題の証明
- 固体物理학
- 脳の脳室拡大
- 主イデアル整域
- 一意因数分解整域
- ユークリッド幾何学
- 共軛同型写像定理の証明
- 体の自己同型写像
- 最小分割体
- スケーラブルな分割可能体
- ガロア体
- ガロア理論
- 積分領域のノルム
- 2次/3次/n次方程式の根と係数の関係
- 三次方程式の根の公式
- 群論での交換子とは?
- 場の理論における交換子とは?
- 二項演算のヤコビ恒等式
- R-加群における抽象代数
- リー群
- 線形代数学でのF-ベクトル空間
- ゼロ射変換
- ベズーの定理
- 一般リニア群
- ユニタリ群
- 特殊線形群
- 直交群
- 特殊ユニタリ群
- 等級モジュールの定義
- 分数環と分数体
- 抽象代数における微分環
- 抽象代数における微分体
- 偏微分環と微分環