📂抽象代数

素イデアル

定義¹

可換環$R$のイデアル$P \ne R$が、$a, b \in R$に対して$ab \in P$ならば$a \in P$または$b \in P$を満たすとき、$P$を$R$における素イデアル^{prime Ideal}という。

説明

素^primeという名称からわかるように、掛け合わされた元を分解することから出発する。

例として整数環$\mathbb{Z}$を考えてみると、$2 \mathbb{Z}$のすべての元は$2k$のような形で表され、$2 \in 2 \mathbb{Z}$であるため素イデアルになる。同じ論理で、任意の素数$p$に対して$p \mathbb{Z}$はすべて$\mathbb{Z}$の素イデアルになる。しかし$6 \mathbb{Z}$を考えてみると、$2 \cdot 3 \in 6 \mathbb{Z}$だが$2 \notin 6 \mathbb{Z}$かつ$3 \notin 6\mathbb{Z}$であるため、$6 \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$において素イデアルにはなれない。

一方、素イデアルは整域に関連して次の性質を持つ。これは極大イデアルと体の関係と類似している。

定理

可換環$R$が単位元$1_{R}$を持つとしよう。

• $P$は$R$の素イデアル $\iff$ $R / P$は整域

証明

$( \implies )$

整域の定義

1. 環$R$に対して、$ab = 0$を満たす$0$でない$a,b \in R$を零因子^{zero divisor}という。
2. 単位元$1 \ne 0$を持つ$D$が零因子を持たなければ整域^{integral domain}という。

$xy + P$が$R/P$の単位元$(0 + P)$だとすると$xy \in P$である。$P$は素イデアルであるため、$x \in P$または$y \in P$でなければならない。

• $x \in P$だとすると$x + P = P = 0 + P$であるため$x = 0$
• $y \in P$だとすると$y + P = P = 0 + P$であるため$y = 0$

したがって$R/P$は零因子を持ち得ず、$R / P$は整域になる。

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$( \impliedby )$

$xy \in P$だとしよう。

$$ (x + P) ( y + P ) = xy + P = P = 0 + P $$ $0 + P$は整域$R/P$の単位元であるため、$(x + P) = (0 + P )$または$(y + P) = (0 + P )$でなければならない。

• もし$(x + P) = (0 + P ) = P$だとすると、すなわち$x \in P$である。
• もし$(y + P) = (0 + P ) = P$だとしても、すなわち$y \in P$である。

したがって$P$は素イデアルになる。

■

一方、極大イデアルと素イデアルについて以下の系を得ることができる。体はまず整域であるという点で当然である。$I$が$R$の極大イデアルならば$R / I$は体であり、体は整域であるため$I$は素イデアルである。

系

単位元$1_{R}$を持つ可換環$R$の極大イデアルは素イデアルである。