📂抽象代数

アイゼンシュタインの判定法

定理¹

$f(x) = a_{n} x^{n} + \cdots + a_{0 } \in \mathbb{Z} [ x ]$が素数$p \in \mathbb{Z}$と$k = 0,1,2, \cdots , n-1$に対して以下の条件を満たすなら、$f(x)$は$\mathbb{Q}$上で既約関数である。

• (i): $a_{n} \not\equiv 0 \pmod{p}$
• (ii): $a_{k} \equiv 0 \pmod{p} $
• (iii): $a_{0} \not\equiv 0 \pmod{p^2}$

説明

$f(x) = ax^{n} + b$の形の整数多項式に対する非常に易しい判定法として意味がある。$\mathbb{Q}$に対する判定法であるという点で、代数的数に関連する議論で有用に使える。

例

$f(x) = 25 x^{5} - 9 x^4 - 3 x^2 - 12$が$\mathbb{Q}$上で既約関数であることを示せ。

解答

• (i) $25 \not\equiv 0 \pmod{3}$
• (ii) $-9 \equiv -3 \equiv 0 \pmod{3}$
• (iii) $12 \not\equiv 0 \pmod{9}$

$p=3$に対してアイゼンシュタインの判定法を適用してみると、$f(x)$は既約関数である。

証明

$f(x) \in \mathbb{Z} [ x ]$が、次数が$r<n$の$R(x)$と次数が$s<n$の$S(x)$に対して$f(x) = R(x) S(x)$であるとすると、 $$ R(x) , S(x) \in \mathbb{Q} [ x ] \iff R(x) , S(x) \in \mathbb{Z} [ x ] $$ であることがわかる。$Z[x]$において $$ f(x) = (b_{r} x^{r} + \cdots + b_{0}) (c_{s} x^{s} + \cdots + c_{0}) $$ が三つの条件(i)、(ii)、(iii)を満たすと仮定すると、条件(iii)から $$ b_{0} c_{0 } = a_{0} \not\equiv 0 \pmod{p^2} $$ なので、$b_{0}$と$c_{0}$が同時に $$ b_{0} \equiv c_{0} \equiv p \equiv 0 \pmod{p} $$ となることはない。代わりに、どちらか一方が合同である場合、すなわち $$\begin{cases} b_{0} \not\equiv 0 \pmod{p} \\ c_{0} \equiv 0 \pmod{p} \end{cases}$$ を考えてみると、条件(i)から $$ b_{r} c_{s} = a_{n} \not\equiv 0 \pmod{p} $$ なので、 $$ \begin{cases} b_{r} \not\equiv 0 \pmod{p} \qquad \cdots (\star) \\ c_{s} \not\equiv 0 \pmod{p} \end{cases} $$ でなければならない。

いま、$c_{k} \not\equiv 0 \pmod{p}$を満たす$k$のうち最小の値を$m$とすると、 $$ a_{m} = b_{0 } c_{m} + b_{1} c_{m-1} + \cdots + \begin{cases} b_{m} c_{0} & , r \ge m \\ b_{r} c_{m-r} & , r<m \end{cases} $$ である。$(\star)$から$b_{0} \not\equiv 0 \pmod{p}$であり、$m$の定義によって$c_{m} \not\equiv 0 \pmod{p}$なので、 $$ c_{m-1} \equiv \cdots \equiv c_{0} \equiv 0 \pmod{p} $$ である。したがって $$ a_{m} \not\equiv 0 \pmod{p} $$ であり、条件(i)と(ii)に従って$m=n$でなければならない。

結局、$s \ge m = n$となるが、これは$s < n$という前提に矛盾する。

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