📂抽象代数

主イデアル

定義¹

単位元を持つ可換環$R$の元$a$によって生成される$\left< a \right>$を、$a$によって生成される主イデアル^{principal Ideal}という。

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• 乗法に対する単位元$1$を単位元という。

説明

$\left< a \right> := \left\{ r a \mid r\ \in R \right\}$の表記は巡回群と同じだが、実際には巡回群より少し大きな構造をなす。

例として、$\mathbb{Z}$のすべてのイデアル$n \mathbb{Z} = \left< n \right> = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\}$は主イデアルである。

初めて主イデアルに接するときは、雲をつかむような感じがするのも無理はない。当面は役に立たないが、後にさまざまな良い性質を持つ整域を議論するときに有用である。次の定理のうち特に[2]と[3]はそれぞれPIDとUFDへの足がかりとなるので、少なくとも一度は自分の手で証明してみることを勧める。

定理

体$F$に対して$p(x), r(x), s(x) \in F [ x ]$としよう。

1. $F [ x ]$のすべてのイデアルは主イデアルである。
2. $\left< p(x) \right> \ne \left\{ 0 \right\}$が極大イデアル $\iff$ $p(x)$は$F$上の既約元
3. $F$上の既約元$p(x)$が$r(x) s(x)$を割り切るならば、$p(x)$は$r(x)$または$s(x)$を割り切る。

証明

[1]

$F [ x ]$のイデアル$N \ne \left\{ 0 \right\}$において、最も次数の低い多項式$g(x)$を考えてみよう。

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Case 1. $\deg g = 0$

$g(x)$は定数関数なので$g(x) \in F$であり、$F$を体と仮定したので$g(x)$は$F$の単元であると同時に$F [ x ]$の単元である。$g(x)$が$F [ x ]$ の単元なので$N = F [ x ] = \left< 1 \right>$であり、したがって$N$は主イデアルである。

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Case 2. $\deg g \ge 1$

任意の$f(x) \in N$は除法の定理により$f(x) = g(x) q(x) + r(x)$と表される。$N$はイデアルなので $$ f(x) - g(x) q(x) = r(x) \in N $$ であるが、最も次数の低い多項式は$g(x)$なので$r(x)=0$でなければならない。

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言い換えれば、任意の$f(x) \in N$は常に$f(x) = g(x) q(x)$と表せるので$N = \left< g(x) \right>$であり、したがって$N$は主イデアルである。

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[2]

$( \implies )$

$p(x)$が既約元でなく、$p(x) = f(x) g(x)$のように因数分解されると仮定しよう。

$\left< p(x) \right>$が$F [ x ]$の極大イデアルなので$\left< p(x) \right> \ne F [ x ]$であり$p(x) \notin F$である。極大イデアルは素イデアルなので、$\left( f(x) g(x) \right) \in \left< p(x) \right>$ならば$f(x) \in \left< p(x) \right>$または$g(x) \in \left< p(x) \right>$でなければならない。ところが$f(x)$と$g(x)$の次数は$p(x)$の次数より小さくなり得ないので仮定に矛盾し、$p(x)$は$F$上の既約元となる。

$( \impliedby )$

$\left< p(x) \right>$が極大イデアルでなく、$\left< p(x) \right> \subsetneq N \subsetneq F [ x ]$を満たすイデアル$N$が存在すると仮定しよう。

定理[1]により$N$は$F [ x ]$の主イデアルなので、ある$g(x) \in F [ x ]$に対して$N := \left< g(x) \right>$と置くことができる。仮定より$\left< p(x) \right> \subset N$なので、ある$q(x) \in F [ x ]$に対して $$ p(x) = g(x) q(x) $$ のように表される。ところが$p(x)$は$F$上の既約元なので、$g(x)$か$q(x)$のどちらかは定数でなければならない。

• もし$g(x)$が定数なら、$g(x)$は$F [ x ]$の単元なので $$ N = F [ x ] $$
• もし$q(x)$が定数なら、ある$c \in F [ x ]$に対して$\displaystyle g(x) = {{1} \over {c}} p(x)$なので $$ N = \left< g(x) \right> = \left< p(x) \right> $$

$g(x)$が定数であっても$q(x)$が定数であっても仮定に矛盾するので、$\left< p(x) \right>$は$F [ x ]$の極大イデアルとなる。

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[3]

$p(x)$が$r(x) s(x)$を割り切るとすると$r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$である。ところが$p(x)$が$F$上の既約元なので、定理[2]により$\left< p(x) \right>$は極大イデアルであり、したがって素イデアルである。つまり$r(x) s(x) \in \left< p(x) \right>$ならば$r(x) \in \left< p(x) \right>$または$s(x) \in \left< p(x) \right>$であり、これは$p(x)$が$r(x)$または$s(x)$を割り切るという意味である。

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