環の零因子が冪等元であれば直和として表せる
定理
単位元$1$を持つ環$R$の零因子$a$が$a^2 = a$を満たすならば、すなわち冪等元であれば、$R$は$aR$と$(1-a)R$の唯一の直積として表される。 $$ R = a R \times (1-a)R $$
説明
環に対する直和を別に定義しなくても分かるほど、数学らしい魅力のある定理だ。
証明
Part (i). 存在性
$r \in R$に対して $$ ar \in aR \\ (1-a) r \in (1-a) R $$ であり、$r = ar + (1-a)r$なので$R = a R \times (1-a)R$である。
Part (ii). 一意性
$r_{1}, r_{2}, r_{3} , r_{4} \in R$に対して $$ \begin{align*} a r_{1} =& x_{1} \in aR \\ a r_{3} =& x_{2} \in aR \\ (1-a) r_{2} =& y_{1} \in (1-a) R \\ (1-a) r_{4} =& y_{2} \in (1-a) R \end{align*} $$ とおいて、$x_{1} = x_{2}$と$y_{1} = y_{2}$を示せばよい。 $$ \begin{align*} & x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2} \\ \implies& a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} \\ \implies& a^2 r_{1} + a(1-a) r_{2} = a^2 r_{3} + a(1-a) r_{4} \end{align*} $$ $a^2 = a$であり$a(1-a) = a - a^2 = a-a = 0$なので、 $$ x_{1} = a r_{1} = a^2 r_{1} = a^2 r_{3} = a r_{3} = x_{2} $$ である。同様に $$ a r_{1} + (1-a) r_{2} = a r_{3} + (1-a) r_{4} $$ であり、$a r_{1} = a r_{3}$なので $$ (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} $$ したがって次を得る。 $$ y_{1} = (1-a) r_{2} = (1-a) r_{4} = y_{2} $$
Part (iii). 排他性
$x \in aR \cap (1-a)R$とすると、ある$r_{1} , r_{2} \in R$に対して $$ x = a r_{1} = (1-a) r_{2} $$ である。両辺に$a$を掛けると $$ ax = a^2 r_{1} = a(1-a) r_{2} = (a - a^2) r_{2} = 0 \cdot r_{2} = 0 $$ である。$x=a r_{1} = a^2 r_{1} = 0$なので次を得る。 $$ aR \cap (1-a)R = \left\{ 0 \right\} $$
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