📂抽象代数

シローの定理

定理¹

素数$p$と$\gcd (p, m) = 1$を満たすある自然数$m$に対して、$G$が$|G| = p^{n} m$である有限群だとしよう。$G$の$p$-部分群のうち、他の$p$-部分群に含まれない$p$-部分群をシロー$p$-部分群という。

• 第1シローの定理: $G$は$i=1, \cdots , n$に対して$|P| = p^{i}$を満たす$p$-部分群が存在する。
• 第2シローの定理: $G$のシロー$p$-部分群$P_{1}$、$P_{2}$に対して、$P_{2} = g P_{1} g^{-1}$を満たす$g \in G$が存在する。
• 第3シローの定理: $G$のシロー$p$-部分群の個数$N_{p}$は、$p$で割った余りが$1$であり、$|G|$の約数である。

説明

シロー$p$-部分群$P$は、実は正確に$|P| = p^{n}$を満たす$p$-部分群を指す。集合を積極的に使う抽象数学では、「他のものに含まれない」といった表現で最大^maximalを表すことがよくある。

すなわち、シロー$p$-部分群はまさに$G$の「最も大きい」$p$-部分群である（もちろん大きさが最大だからといって唯一である保証はない）。我々の関心はシロー$p$-群にあるので、$i = 1, \cdots , n-1$については$p$-群が存在しようがしまいがあまり関係ない。

したがって、第1シローの定理は実のところ「$G$は必ずシロー$p$-部分群を持つ」とだけ覚えておいても差し支えない。あえてあのような表現を使ったのは、表現から見ても証明方法から見てもコーシーの定理の一般化だからにすぎない。

一方、$P_{2} = g P_{1} g^{-1}$を満たす$g \in G$が存在するということを、$P_{1}$、$P_{2}$が互いに共役^conjugateであるとも表現する。これを踏まえて上の定理をすっきり書き直すと次のようになる。

• 第1シローの定理: $G$はシロー$p$-部分群を持つ。
• 第2シローの定理: $G$のシロー$p$-部分群$P_{1}$、$P_{2}$は互いに共役である。
• 第3シローの定理: $G$のシロー$p$-部分群の個数を$N_{p}$とすると $$ N_{p} \equiv 1 \pmod{p} \\ N_{p} \mid |G| $$