📂抽象代数

実数体から複素数体を作り出す代数的な方法

定理¹

$$ \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> \simeq \mathbb{C} $$

説明

事実だけを見れば当たり前だが、実数体から複素数体を作り出す過程は相当に美しい。

$\mathbb{R} [x ]$ を $\left< x^2 \right>$ で切ろうが $\left< x^2 + x \right>$ で切ろうが、元の形は $ax + b$ の形で出てくるだろうが、よりによって $\left< x^2 + 1 \right>$ で切るのには理由がある。少なくとも一度は自分で証明してみて、この美しさを満喫しよう。

証明

$\left( x^2 + 1 \right)$ は $F$ 上の既約元なので、$\left< x^2 + 1 \right>$ は $\mathbb{R} [ x ]$ の極大イデアルであり、したがって$\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right>$ は体である。

$\mathbb{R}$ の拡大体 $\mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right>$ は、その元として $(ax + b) + \left< x^2 + 1 \right>$ のような剰余類を元に持つ。これら全ての元が $a,b \in \mathbb{R}$ とある $\alpha$ に対して $a + b \alpha$ のように表せるので、 $$ \mathbb{R} [x ] / \left< x^2 + 1 \right> = \mathbb{R} ( \alpha ) $$ は単純拡大体である。

具体的に $\alpha := x + \left< x^2 + 1 \right>$ としてみると、 $$ \begin{align*} & \alpha^2 = \left( x + \left< x^2 + 1 \right> \right)^2 \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + \left< x^2 + 1 \right> \right) + \left( 1 + \left< x^2 + 1 \right> \right) \\ \implies& \alpha^2 + 1 = \left( x^2 + 1 \right) + \left< x^2 + 1 \right> = \left< x^2 + 1 \right> = 0 + \left< x^2 + 1 \right> \end{align*} $$ $\alpha$ は $\left( x^2 + 1 \right)$ の零なので、事実上 $\alpha$ が虚数 $i$ と同じ役割を果たすことになり、次が成立する。 $$ \mathbb{R} ( \alpha ) \simeq \mathbb{C} $$

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