📂抽象代数

抽象代数学における交代群

定義 ¹

対称群 $S_{n}$の偶置換からなる群を交代群^{alternating group}といい、$A_{n}$と書く。

定理

$n \ge 2$に対して $$ \left| A_{n} \right| = {{\left| S_{n} \right|} \over {2}} = {{ n! } \over {2}} $$

説明

$A_{n}$の位数^orderがちょうど$\left| S_{n} \right|$の半分になるというのは、非常に興味深い性質である。交代群は後に$5$次以上の方程式が根の公式を持たないことを示す際に用いられるので、非常に重要な群だといえる。

証明

まず$A_{n}$が群になることを示さなければならない：

• (i): 偶置換同士の合成は偶置換なので、$A_{n}$は演算$ \circ$に対して閉じている。
• (ii): $A_{n} \subset S_{n}$なので結合法則が成り立つ。
• (iii): 恒等関数$\iota = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}$は偶数である$0$個の互換で表されるので偶置換であり、$A_{n}$は単位元$\iota$を持つ。
• (iv): 任意の互換$(i, j)$に対して$(i, j) (i , j) = \iota$なので、偶置換の逆元もまた偶置換である。

次に$\displaystyle \left| A_{n} \right| = {{ n! } \over {2}}$であることを示すため、便宜上$A_{n}^{c} := S_{n} \setminus A_{n}$としよう。もし全単射$f : A_{n} \to A_{n}^{c}$が存在するならば $$ \left| A_{n} \right| = \left| A_{n}^{c} \right| \\ n! = \left| S_{n} \right| = \left| A_{n} \right| + \left| A_{n}^{c} \right| $$ なので、$\displaystyle \left| A_{n} \right| = {{ n! } \over {2}}$であろう。

では具体的に関数$f ( x ) = (1,2) x$が全単射であることを示せば証明は終わる。

• $f ( \sigma ) = f ( \tau )$ならば$(1,2) \sigma = (1,2) \tau$であり、両辺に$(1,2)$を掛けると$\sigma = \tau$なので、$f$は単射である。
• 任意の$\xi \in A_{n}^{c}$に対して$(1,2) \xi$は偶置換であり、$f( (1,2) \xi ) = (1,2)(1,2) \xi = \xi$なので、$f$は全射である。

したがって次が成り立つ。 $$ \left| A_{n} \right| = {{\left| S_{n} \right|} \over {2}} = {{ n! } \over {2}} $$

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ヒント

(iii)で単位元の存在性を明らかにする部分をよく見れば、なぜ奇置換ではなく偶置換を使うのかがわかるだろう。