📂抽象代数

群論におけるコーシーの定理の証明

定理¹

有限群$G$に対して、素数$p$が$|G|$の約数ならば、$|H| = p$を満たす部分群$H \leqslant G$が存在する。

説明

普通、コーシーの定理と言うとき、この定理を思い浮かべることはない。もう一つのコーシーの定理は複素解析の根幹をなすほど重要な定理だが、この定理はあまり言及されることがない。何よりも第一シロー定理に一般化されるため、あえてコーシーの定理を使わなければならない場合は極めて稀だ。

知っておいて役に立つかどうかは分からないが、証明の方法はセッティングから始まって、いろいろな意味で非常に独特だ。興味本位でも一度くらいは自分で証明してみることをおすすめする。

証明

$i=1 , \cdots p$に対して$g_{i} \in G$とし、$G$の単位元を$e$とする。集合 $$ X := \left\{ (g_{1} , \cdots , g_{p}) \ | \ g_{1} \cdots g_{p} = e \right\} $$ と対称群$S_{p}$を考えてみよう。

$\rho_{1} \in S_{p}$は$X$のタプルを一つずつずらす置換として、 $$ \rho_{1} (g_{1}, g_{2} , \cdots , g_{p-1} , g_{p}) = (g_{2}, g_{3} , \cdots , g_{p} , g_{1}) $$ のような作用をする。定義から$g_{p} = (g_{1} \cdots g_{p-1} )^{-1}$と特定されるので$|X| = |G|^{p-1}$であり、$p$が$|G|$の約数なので、$p$は$|X|$の約数である。

$p$-群の性質: 有限群$G$が$p$-群であり、$X$が$G$-集合ならば$|X| \equiv |X_{G}| \pmod{p}$

$| \left< \rho_{1} \right> | = p$なので $$ |X| \equiv \left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right| \pmod{p} $$ であり、$p$は$\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$の約数でもある。これはすなわち、$\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$に$(e, e, \cdots , e)$であれ$(g , g , \cdots , g )$であれ、すべての成分が等しいタプルが少なくとも$p$の倍数だけ存在するという意味だ。ところが、このような元が$\left| X_{ \left< \rho_{1} \right> } \right|$に属するということ自体が$g \cdots g = g^p = e$であることを意味する。したがって、少なくとも$\left< g \right> = p$を満たす$\left< g \right>$は$G$の部分群になることが確認できる。

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関連リンク

• 複素解析におけるコーシーの定理