📂抽象代数

分離拡大体

定義¹

$E$を$F$の拡大体とする。

1. $E$から$\overline{F}$の部分体への同型写像のうち、$F$を固定したまま残す同型写像の個数を$F$上の$E$の指数^indexといい、$\left\{ E : F \right\}$のように表す。
2. $E$が有限体であるとき、$\left\{ E : F \right\} = [ E : F ]$ならば$E$を**$F$の分離拡大体**という。
3. $f ( \alpha )$が$F$の分離拡大体ならば、$\alpha \in \overline{F}$が$F$上で分離的であるという。
4. $f(x)$のすべての零点が$F$上で分離的ならば、既約元$f(x) \in F [ x ]$が**$F$上で分離的**であるという。
5. $K$が$F$の有限拡大であるとき、$K$が$F$上の分離最小分解体ならば、$K$を$F$の有限正規拡大体という。

---

• $[ E : F ]$は次数を意味する。
• $G(E / F)$は$F$上の$E$の群を意味する。

説明

指数の例として$\mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} )$を考えてみると、自己同型写像 $$ I, \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}}, \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}}, \left( \psi_{\sqrt{2} , -\sqrt{2}} \psi_{\sqrt{3} , -\sqrt{3}} \right) $$ は$\mathbb{Q}$を固定したまま残すので、$\left\{ \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) : \mathbb{Q} \right\} = 4$となる。

分離拡大体が別に定義される理由は、一般に$\left\{ E : F \right\} \mid [ E : F ]$は成り立つものの、常に等しいという保証はないからである。