📂抽象代数

第一同型定理の証明

定理¹

$G,G'$が群であるとしよう。

• 第一同型定理: 準同型写像$\phi : G \to G'$が存在すれば $$ G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G) $$
• 第二同型定理: $H \le G$かつ$N \triangleleft G$ならば $$ (HN) / N \simeq H / (H \cap N) $$
• 第三同型定理: $H , K \triangleleft G$かつ$K \leq H$ならば $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$

同型定理^{isomorphism theorem}は、代数学者エミー・ネーターによって証明された定理で、独立した上の三つの定理を指す。

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• $\ker$は核である。
• $N \triangleleft G$は、$N$が$G$の正規部分群であることを意味する。

説明

第一同型定理は、上の図式で赤色に当たる同型写像$\color{red} {\mu}$が存在することを意味する。これは、群において$\phi$にとって不要な部分を捨て、核を一種の「単位」とする構造だけを残せることを示唆している。

証明

$K : = \ker ( \phi )$としたとき、$\mu : G / K \to \phi (G)$を$\mu (xK) = \phi ( x)$のように定義しよう。この$\mu$が同型写像であることを示せばよい。

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Part 1. $\mu$は関数である。

$x,y \in G$と$G'$の単位元$e'$に対して

$$ \begin{align*} & xK = yK \\ \iff & x^{-1} y \in K \\ \iff & \phi ( x^{-1} y ) = e' \\ \iff & \phi ( x^{-1} ) \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) ^{-1} \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) = \phi ( y ) \end{align*} $$ すなわち$xK = yK \implies \phi ( x ) = \phi ( y )$なので、$\mu$は関数である。

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Part 2. $\mu$は単射である。

Part 1の過程を逆にたどれば$\phi ( x ) = \phi ( y ) \implies xK = yK$なので、$\mu$は単射である。

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Part 3. $\mu$は全射である。

$\mu ( G / K ) = \left\{ \mu (xK) \ | \ x \in G \right\} = \left\{ \phi (x) \ | \ x \in G \right\} = \phi (G)$ なので、$\mu$は全射である。

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Part 4. $\mu$は準同型写像である。

$x,y \in G$に対して $$ \mu (xKyK) = \mu (xyK) = \phi (xy) = \phi (x) \phi (y) = \mu (xK) \mu (yK) $$ なので、$\mu$は準同型写像である。

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一般化

一方、第一同型定理を環に対して拡張した定理が知られている。証明法はほとんど同じで、群と違って加法と乗法という二つの演算を考える点が異なる。

準同型写像の基本定理: 環$R$, $r '$に対して準同型写像$\phi : R \to r '$が存在すれば$R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$