📂抽象代数

クラインの四元群

定義 ¹

$V = \left\{ e, a, b, c \right\}$と二項演算$\cdot$について、$\left< V , \ \cdot \ \right>$をクラインの四元群^{klein 4-group}という。

説明

見ての通り、元の個数が単位元を含めても$4$個しかないため、非常に豊かな性質を持つわけではない。しかし計算がほとんどなく独自の演算を持っているだけに、群の概念を体得するにはかなり良い例となる。$x \cdot x = e$すなわち、すべての元が自分自身を逆元として持つとか、$\left< x \right>$のように表現されないといった性質は、気軽に確認できる。あえて何かに使うというよりは、その存在自体だけでも群論を理解するのに役立つ群だと考えるのがよい。

先に述べたように、$V$は巡回群ではない有限群のうち最も元が少ない群である。ちなみに、可換群ではない有限群のうち最も元が少ない群は正二面体群$D_{3} = S_{3}$である。