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ガロア体 📂抽象代数

ガロア体

定理1

素数$p$と自然数$n$に対して、基数が$p^{n}$である有限体finite fieldを$p^{n}$次のガロア体galois fieldと定義し、$\text{GF} \left( p^{n} \right)$のように表す。有限体はガロア体のみであり、与えられた$p$と$n$に対してガロア体は唯一に存在する。

  • ここで唯一というのは、たとえ互いに異なる体であっても同型写像が存在し、実質的には同じ体であるという意味である。

説明

ガウスが初めて有限体の概念を思いついた頃は、その実体を信じる者はいなかったというが、現在では有限体が存在するだけでなく、唯一でありその具体的な形まで明らかになっている。すべての有限体の形が解明されているため、無駄な研究をする必要はない。

例えば、元が$10$個の体が存在するかどうかは悩む必要すらなく、$\text{GF} \left( p \right) = \mathbb{Z}_{p}$は整数環であるため、すでに我々は多くのことを知っている。さらに気になる点があれば、抽象的な定義にこだわる必要はなく$\mathbb{Z}_{p}$を通じてアプローチすればよく、その逆もまた同様である。

証明2

Part 1. すべての有限体はガロア体である。

体$F$の有限拡大体を$E$とし、$F$上での次数を$n := \left[ E : F \right]$とおく。

$| F | = q$とすると、$E$は$F$の$n$次ベクトル空間であるため$|E| = q^{n}$である。体は単位元を持つが、標数が$0$であれば$\mathbb{Z}$と同型な部分環が存在して無限体になる。したがって、有限体の標数は有限な自然数でなければならない。有限体$E$の標数を$p \ne 0$とすると、$E$は単位元$1$を持つため$p \cdot 1 = 0$でなければならない。体は整域であるため、 $$ p \cdot 1 = ( p_{1} \cdot 1 ) ( p_{2} \cdot 1 ) = 0 $$ を満たす$p_{1}, p_{2} \in \mathbb{Z}$は存在し得ず、$p$は必ず素数である。したがって$E$は素体$\mathbb{Z}_{p}$と同型な部分体を持ち、$\left| \mathbb{Z}_{p} \right| = p$であるため$|E| = p^{n}$である。

Part 2. ガロア体の存在性

Part 2-1. $x^{p^{n}} - x$の零点

$\left( x^{p^{n}} - x \right)$の、標数が$p$である体$F$の代数的閉包$\overline{F}$を考えてみよう。

$\overline{F}$は代数的に閉じているため、$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{F} [ x ]$は$1$次の因数に因数分解される。すぐにわかる事実として $$ x^{p^{n}} - x = ( x - 0 ) \left( x^{p^{n}-1} - 1 \right) $$ であるため、$0$は$\left( x^{p^{n}} - x \right)$の零点になる。$f(x) := x^{p^{n}-1} - 1$のもう一つの零点$\alpha \ne 0$を考えてみると、 $f \left( \alpha \right) = 0$であるため $$ 0 = f \left( \alpha \right) = \alpha^{p^{n} - 1} - 1 \implies \alpha^{p^{n} - 1} = 1 $$ であり、これに従って$f(x)$を$\left( x - \alpha \right)$の積として表してみると $$ \begin{align*} f(x) =& x^{p^{n}-1} - 1 \\ =& x^{p^{n}-1} - \alpha^{p^{n}-1} \\ =& (x - \alpha ) \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) \end{align*} $$ である。一方、便宜上、二つ目の因数を $$ g(x) := \left( x^{p^{n} - 2 } + \alpha x^{p^{n} - 3 } + \cdots + \alpha^{p^{n} - 3 } x + \alpha^{p^{n} - 2} \right) $$ とすると、$g(x)$の項の個数は$p^{n} - 1$個である。したがって$x = \alpha$を代入してみると $$ g ( \alpha ) = \alpha^{p^{n} - 2} \cdot \left( p^{n} - 1 \right) = {{\alpha^{p^{n} - 1}} \over { \alpha }} \left( p^{n} - 1 \right) $$ を得る。上で$\alpha \ne 0$は$f(x)$の零点であるため$\alpha^{p^{n}-1} - 1 = 0$であるとし、標数を素数$p$と仮定したので $$ g ( \alpha ) = {{1} \over { \alpha }} \cdot (0 - 1) = - {{1} \over { \alpha }} \ne 0 $$ である。したがって$\alpha$は$f(x) = 0$の重根ではなく、これは$\alpha$以外の他の零点についても同じである。結局、$\left( x^{p^{n}} - x \right)$はちょうど$p^{n}$個の互いに異なる零点を持つ。

Part 2-2. 新入生の夢

一方、$\alpha , \beta \in F$に対して$\left( \alpha + \beta \right)^{p}$を計算してみると、二項定理により $$ \begin{align*} \left( \alpha + \beta \right)^{p} =& \sum_{k=1}^{p} \binom{p}{k} \alpha^{k} \beta^{p - k} \\ =& \alpha^{p} + \sum_{k=2}^{p-1} {{p!} \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} + \beta^{p} \\ =& \alpha^{p} + \beta^{p} + p \sum_{k=2}^{p-1} {{ ( p - 1 )! } \over { ( p - k )! ( k )! }} \alpha^{k} \beta^{p - k} \end{align*} $$ $F$の標数が$p$であるため最後の項は$0$になり、したがって $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p} = \alpha^{p} + \beta^{p} $$ もう一度両辺を$p$乗すると $$ \left( \left( \alpha + \beta \right)^{p} \right)^{p} = \left( \alpha^{p} \right)^{p} + \left( \beta^{p} \right)^{p} $$ 整理すると$\left( \alpha + \beta \right)^{p^{2}} =\alpha^{p^2} + \beta^{p^2}$であり、これを$n$回繰り返すと次を得る。 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$

さて、$\mathbb{Z}_{p}$の代数的閉包$\overline{ \mathbb{Z}_{p} }$を考えてみよう。

$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \overline{ \mathbb{Z}_{p} } [ x ]$の零点をすべて集めた集合を$K \subset \overline{ \mathbb{Z}_{p} } $、そしてその元を$\alpha , \beta \in K$とおく。

Part 2-3. $K$はガロア体である。

  • (i) 加法に関する閉性: $$ \begin{cases} \alpha^{p^{n}} - \alpha = 0 \\ \beta^{p^{n}} - \beta = 0 \end{cases} $$ である。両辺同士を加えると、Part 2-2の$\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n}$により $$ \left( \alpha^{p^{n}} + \beta^{p^{n}} \right) - ( \alpha + \beta ) = \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} - ( \alpha + \beta ) = 0 $$ であるため、$( \alpha + \beta ) \in K$である。
  • (ii) 加法に関する単位元: $0^{p^{n}} - 0 = 0$であるため、$0 \in K$である。
  • (iii) 加法に関する逆元: $\left( - \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \left( - 1 \right)^{^{p^{n}}} \alpha$である。
    • $p=2$なら$-1 = 1$であるため、$\left( -\alpha \right) = \alpha \in K$である。
    • $p \ne 2$は奇数の素数であるため、$\left( - \alpha \right)^{p^{n}} - ( - \alpha ) = 0$、すなわち$( - \alpha ) \in K$である。
  • (iv) 乗法に関する閉性 : $\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} = \alpha^{p^{n}} \beta^{p^{n}} = \alpha \beta$であるため$\left( \alpha \beta \right)^{p^{n}} - \alpha \beta = 0$、すなわち$\alpha \beta \in K$である。
  • (v) 乗法に関する単位元: $1^{p^{n}} - 1 = 0$であるため、$1 \in K$である。
  • (vi) 乗法に関する逆元: $\alpha \ne 0$に対して$\displaystyle \left( \alpha \right)^{p^{n}} = \alpha$の逆数を取ると$\displaystyle {{1} \over {\left( \alpha \right)^{p^{n}} }} = {{1} \over { \alpha }}$、すなわち $$ \left( {{1} \over { \alpha }} \right)^{p^{n}} - {{1} \over { \alpha }} = 0 $$ であるため、$\alpha^{-1} \in K$である。
  • (vii): $| K | = p^{n}$ : $\mathbb{Z}_{p}$の標数は$p$であるため、Part 2-1により$\left( x^{p^{n}} - x \right)$はちょうど$p^{n}$個の互いに異なる零点を持つ。

したがって$K$は$p^{n}$次のガロア体である。

Part 3. ガロア体の唯一性

Part 1では$F$の標数が素数$p$であり、Part 2-1では$F$の代数的閉包$\overline{F}$における演算が、$F$の単位元$1_{F}$を$1_{\mathbb{Z}_{p}}$と見なせば、実は$\mathbb{Z}_{p}$の代数的閉包$\overline{\mathbb{Z}}_{p}$における演算と変わらなかったことを指摘しておく。

Part 3-1. 基数が$p^{n}$である体$E \subset \overline{\mathbb{Z}}_{p}$の正体3

ラグランジュの定理: $H$が有限群$G$の部分群であれば、$|H|$は$|G|$の約数である。

基数が$p^{n}$である体$\left( E , + , \times \right)$に対して、乗法$\times$に関する群$\left( E^{\ast} , \times \right)$を考えてみると、$E^{\ast}$は$E$において$+$に対する単位元$0 \in E$を除いた$p^{n} - 1$個の元と単位元$1 \in E^{\ast}$を持つ。$\alpha \in E^{\ast}$のオーダーorder、つまり$\alpha$から作られる巡回群の基数である$\left| \alpha \right| = \left| \left< \alpha \right> \right|$はラグランジュの定理により$p^{n} - 1$の約数であり、したがって $$ \alpha^{p^{n} - 1} = 1 \implies a^{p^{n}} = \alpha $$ を得る。言い換えれば、$E$のすべての元は$x^{p^{n}} - x$の零点であり、代数学の基本定理により、$\mathbb{Z}_{p}$の代数的閉包$\overline{\mathbb{Z}}_{p}$に含まれる基数が$p^{n}$である体$E$の元たちは、まさに$\left( x^{p^{n}} - x \right) \in \mathbb{Z}_{p} [x]$の零点である。

Part 3-2. 最小分解性

Part 2-1とPart 3-1により、与えられた$p$と$n$に対して、すべての元がちょうど$\left( x^{p^{n}} - x \right)$の零点からなる体$E$が存在し、$F$の標数が$p$であるという点から、その係数に対する演算も素体$\mathbb{Z}_{p}$における演算と同じであったことに注目せよ。Part 2-3とPart 1により、$E$は素体$\mathbb{Z}_{p}$を素体として持ち$|E| = p^{n}$を満たさなければならないガロア体であり、さらにPart 2-1により、$E$は$\left( x^{p^{n}} - x \right)$の最小分解体であることまでわかった。

最小分解体の性質: $f(x) \in F [ x ]$の最小分解体はすべて同型である。

最小分解体の性質により、与えられた$p$と$n$に対してガロア体は唯一である。

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補題: 新入生の夢

ただ知っておくと面白い事実として、Part 2-2で登場した等式 $$ \left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} =\alpha^{p^n} + \beta^{p^n} $$ を新入生の夢freshman’s Dreamと呼ぶ。学校に入ったばかりの新入生の立場からすれば、累乗が括弧の中に入れられるなら、複雑な展開なしでも難しい問題を解けるからである。ちなみに数論では、標数への言及がなくても合同式$\left( \alpha + \beta \right)^{p^{n}} \equiv \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} \pmod{ p }$を同じ方法で導くことができる。

  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p300. ↩︎

  2. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p302~304. ↩︎

  3. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p301 ↩︎