📂抽象代数

抽象代数学における様々な写像

定義

群 $\left< G , \ast\ \right> , \left< G' , *' \right>$ に対して $\phi : G \to G'$ であるとしよう。

1. $\forall x ,y \in G $、$\phi (x \ast\ y) = \phi (x ) *' \phi ( y)$ ならば $\phi$ を準同型写像^homomorphismという。
2. 準同型写像 $\phi$ が単射ならば $\phi$ を単型写像^monomorphismといい、$G \hookrightarrow G'$ と書く。
3. 準同型写像 $\phi$ が全射ならば $\phi$ を全型写像^epimorphismといい、$G \twoheadrightarrow G'$ と書く。
4. 準同型写像 $\phi$ が全単射ならば $\phi$ を同型写像^isomorphismといい、$G \simeq G'$ と書く。
5. 準同型写像 $\phi$ に対して $G = G'$ ならば $\phi$ を準自己同型写像^endomorphismという。
6. 同型写像 $\phi$ に対して $G = G'$ ならば $\phi$ を自己同型写像^automorphismという。

説明

突然押し寄せる定義に頭は痛むだろうが、すぐに慣れるので難しく考えず堂々と立ち向かおう。

単型写像と全型写像は任意に訳したもので、日本の数学界でもそのままモノ射あるいはエピ射として使っている。抽象代数学以外ではこれら自体がそれぞれ単射と全射そのものとして使われるが、抽象代数学では普通、準同型写像が含まれる。

同型写像は、その性質がすぐに有益だとわかるほど条件が厳しいのが欠点である。理論を学ぶにあたってそのような条件を減らせるなら、すなわち単型写像や全型写像で十分ならばより良いだろう。