📂抽象代数

抽象代数学における可換群

定義 ¹

群 $\left< G, \ast\ \right>$の二つの元$a, b$に対して$a \ast\ b = b \ast\ a$であれば$\left< G, \ast\ \right>$を可換群^{Abelian group}と定義する。

説明

可換は「交換法則が成り立つ」程度の意味で受け取ればよい。英語名の場合はCommutativeの代わりにAbelianという語が付くが、これは天才数学者アーベルにちなんだ語である。もちろん韓国語名でアーベル群と呼んでも意味の伝達上まったく問題はない。

可換群ともなればもう相当に多くの条件を満たしているので、想像しにくい構造ではない。群になりながら可換群になれない例を見てみよう。

逆行列が存在する正方行列の集合$\text{GL}_{n} (\mathbb{R}) = \left\{ A \in \mathbb{R}^{n \times n} \ | \ \det A \ne 0 \right\}$に対して、群 $\left< \text{GL}_{n} (\mathbb{R}) , \cdot \right>$は可換群ではない。

• 行列の乗算は交換法則が成り立たない。

普通は行列の演算に触れる中で、乗算では交換法則が成り立たないということをかなり重要に扱ったはずである。それだけ交換法則は我々が日常的に扱う数においては当然の性質であるから注意せよという意味である。逆に言えば交換法則を満たす例が相当に多く、その例は普通我々になじみ深いという意味である。

群 $\left< \mathbb{R} , + \right>$は可換群である。

• 実数の加算は交換法則が成り立つ。

我々に最もなじみ深い実数だけを考えてもそうであるし、複素数や有理数や整数なども同様である。普通は群でありながら可換群ではない例を見つけるほうがはるかに難しいことである。