📂抽象代数

ラグランジュの定理の証明

定理 ¹

$H$が有限群$G$の部分群であれば、$|H|$は$|G|$の約数である。具体的には次が成立する。

$$ |G : H| = |G| / |H| $$

証明

少し考えれば常識的に成立せざるを得ず、証明もそれに相応しく簡単である。

全ての剰余類は同じ数の元を持つ。$H$も$G$の剰余類の一つであるから、$H$の剰余類の濃度^cardinalityは$|H|$である。剰余類は$G$の分割を成すので、全ての剰余類の濃度を足すと$|G|$になる。$H$の剰余類の数$|G : H|$を$r$とすると $$ |G| = |H| + \cdots |H| = r |H| $$ よって$|H|$は$|G|$の約数である。

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系

有限群$G$に対して$|G|$が素数ならば、$G$は巡回群である。

例として、素数$p$に対して$\mathbb{Z}_{p}$は見るまでもなく巡回群である。

反例 ²

交代群$A_{4}$は、ラグランジュの定理の逆に対する反例である。

ラグランジュの定理の逆が成立すると仮定すれば、$\displaystyle | A_{4} | = {{4!} \over {2}} = 12$であるから、$|H| = 6$を満たす$H \leqslant A_{4}$が存在するだろう。$A_{4}$は具体的に次のように3種類、12通りの巡回群で構成されているため、$H$はそのうち6通りの巡回で構成される。

• 長さ$1$の恒等元: $$e$$
• 長さ$3$の巡回、$3$-巡回: $$(1,2,3) \\ (1,3,2) \\ (1,2,4) \\ (1,4,2) \\ (1,3,4) \\ (1,4,3) \\ (2,3,4) \\ (2,4,3)$$
• 長さ$2$の置換の積、クラインの四元: $$(1,2)(3,4) \\ (1,3)(2,4) \\ (1,4)(2,3)$$ これらと恒等元$e$だけを集めた$V \leqslant A_{4}$はクラインの四元群と同型である。その意味で、このポストではこれらを単にクライン四元と呼ぼう。

さて、$H$がこれらの元とどのような関係にあるか見てみると…

1. $H$は群であるから恒等元$e$を持たなければならないので、実際には$5$個の巡回を選べばよい。
2. ラグランジュの定理が成立すると仮定する下では濃度が$2$の$H_{2} \subset H$もまた存在しなければならないので、$H$はクライン四元を少なくとも一つ含まなければならない。
3. クライン四元は三つだけであるから、$H$は長さ$3$-巡回を少なくとも二つ含まなければならない。
4. $\alpha \in H$ならば$\alpha^2 \in H$でなければならない。ところが$(1,i,j)^{2} = (1,j,i)$であるから、$H$に長さ$3$-巡回が含まれるならば必ず偶数個だけ存在しなければならない。恒等元を含まなければならないので$6$個を持つことはできない。

要約すると、$H$は少なくとも一つのクライン四元と少なくとも二つの$3$-巡回を持たなければならず、特に$3$-巡回は偶数個だけ持たなければならないので、可能な場合は$3$-巡回が二つか四つかだけである。単にケースを分けて考えよう。

• Case 1. $3$-巡回二つ、クライン四元三つ
  $$(a,b,c) \circ (a,c)(b,d) = (b,d,c) \notin H$$ $H$はどの巡回$(a,b,c)$を含んでも全てのクライン四元を持つので、上のように$(b,d,c)$を得ることができ、したがって$H$は巡回の積に対して閉じていない。

• Case 2. $3$-巡回四つ、クライン四元一つ
  一般性を失わず、$H$の$3$-巡回の一つを$(a,b,c)$、クライン四元を$(a,b)(c,d)$としよう。要点は、$(a,b,c)$に含まれない$d$がクライン四元には存在するということである。 $$ (a,b,c) \circ (a,b)(c,d) = (c,d,a) = (a,c,d) $$ であるから、$H$は正確に$3$-巡回$(a,b,c), (a,c,b), (a,c,d), (a,d,c)$を持たなければならない。しかし $$ (a,d,c) \circ (a,b)(c,d) = (b, d, a) = (a,b,d) \notin H $$ であるから、やはり$H$は巡回の積に対して閉じていない。

ラグランジュの定理の逆が成立しないことを示す反例として、$H$が群になり得ないことを確認した。

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