一意分解整域
定義1
- 整域$D$の$0$でも単元でもないすべての元に対して有限な因数分解が一意に存在するならば、$D$を一意分解整域uFDという。
- 一意分解整域$D$の$a_{1} , \cdots , a_{n}$に対して、$d \mid a_{i}$であり$a_{i}$のすべての約元が$d$を割るならば、$d$を$a_{1} , \cdots , a_{n}$の最大公約元greatest common divisorといい、$\gcd$と書く。
- 一意分解整域$D$のある多項式を$f(x) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$とおこう。$\gcd ( a_{0} , a_{1} , \cdots , a_{n} ) = 1$ならば、$f(x) \in D [ x ]$を原始的primitiveという。
定理2
- [2] 算術の基本定理: $\mathbb{Z}$はUFDである。
- [3] ガウスの補題: $D$がUFDならば、$D [ x ]$の原始多項式たちの積も原始的である。
- [4]: $D$がUFDならば、$D [ x ]$もUFDである。
- [5]: $F$が体ならば、$F[ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$はUFDである。
説明
「一意分解整域」という言葉はあまりに長いため、普通はUFDという略語がよく使われる。
UFD
元の有限な因数分解が存在するというのは、与えられた元が有限個の既約元の積として表されるという意味である。UFDが有用な理由は、何か大きな対象を分解して考えられるようになるからである。代数学の性質上、それが具体的に何かとは言えなくても、そのような因数分解が存在するというだけで大きな助けになる。おかげで、我々の考える「常識的な」計算が通用する整域となる。
一意分解整域の例は非常に多い。定理 [2] で言及されているとおり、まず整数環$\mathbb{Z}$がそうである。ところで、整数環に$\sqrt{-5}$を添加した単純拡大体$\mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$を考えてみよう。ここで$21 \in \mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$は素因数分解$21 = 3 \cdot 7$を持つ一方で、$21 = ( 1 + 2 \sqrt{-5}) ( 1 - 2 \sqrt{-5}) $も可能なので一意ではなく、$\mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$が一意分解整域でないことは容易に確認できる。
原始的な関数？
関数が原始的であるというのは、微分積分学における原始関数とは全く関係がなく、$(3 x^2 + 6 x + 3) \in \mathbb{Z} [ x ]$が$3 ( x^2 + 2x + 1)$のように全体を$3$でくくり出せるのとは違い、係数をくくり出せない関数のことをいう。
算術の基本定理
整数論におけるステートメントとは異なり、整数環$\mathbb{Z}$がUFDであるという一言に要約される。もちろんそのために膨大な概念が動員されたのだから、当然同じことを言っているに過ぎないが、より水準の高い整数論ではこのように代数の言葉で表現されるものが多いため、代数学を学ぶことは必須である。代数学を専攻しないとしても、代数学を知らなければ馬鹿になる。
ガウスの補題
ガウスの補題は思いのほか不思議な定理である。例えば$(5x + 1) , (2x^2 + 3x + 1) \in \mathbb{Z} [ x ]$を考えてみると、その積は$( 10 x^3 + 17 x^2 + 8 x + 1 )$であり、実際にいかなる最大公約数$a \in \mathbb{Z}$でもくくり出すことができない。やっていればひとつくらいは反例が見つかりそうな気もするが、ガウスの補題のおかげでそのような無駄骨を折る必要はなくなる。
証明
1
Part 1. 存在性
$D$がPIDであるとすると、$d \in D$は既約元$p_{1} , \cdots , p_{r}$たちの有限な積$a = p_{1} \cdots p_{r}$のように表される。
Part 2. 一意性
別の既約元$q_{1} , \cdots , q_{s}$に対して$a = q_{1} \cdots q_{s}$もまた可能だとしてみよう。
PIDの既約元は素元なので、ある$1 \le j \le s$に対して$p_{1} \mid q_{j}$でなければならない。 $$ p_{1} p_{2} \cdots p_{r} = p_{1} u_{1} q_{2} \cdots q_{s} $$ の両辺から$p_{1}$を消去すると $$ p_{2} \cdots p_{r} = u_{1} q_{2} \cdots q_{s} $$ である。同じ方法を$i=r$まで繰り返すと $$ 1 = u_{1} \cdots u_{r} q_{r+1} \cdots q_{s} $$ を得る。$q_{r+1} \cdots q_{s}$は既約元なので、$r=s$でなければならない。
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[2]
$\mathbb{Z}$のすべてのイデアルは$\left< n \right> = n \mathbb{Z}$なのでPIDであり、定理 1 によってUFDである。
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[3]
$$ \begin{align*} f(x) &:= a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^n \\ g(x) &:= b_{0} + b_{1} x + \cdots + b_{m} x^m \end{align*} $$ 原始多項式$f(x) , g(x) \in D[x]$を上のように表そう。
$p \in D$を既約元とおこう。
- $f(x)$は原始的なので$\gcd ( a_{0} , \cdots , a_{n} ) = 1$であり、$p$が$a_{0} , \cdots , a_{n}$をすべて割ることはできない。そこで$i = 0, 1 , \cdots , n$に対して、$p$が$a_{i}$を割れなくなる最初の係数を$a_{r}$とおこう。
- $g(x)$は原始的なので$\gcd ( b_{0} , \cdots , b_{m} ) = 1$であり、$p$が$b_{0} , \cdots , b_{m}$をすべて割ることはできない。そこで$j = 0, 1 , \cdots , m$に対して、$p$が$b_{j}$を割れなくなる最初の係数を$b_{s}$とおこう。
すると$f(x)g(x)$の$( r + s)$次の項の係数は $$ c_{r+s} = ( a_{0} b_{r+s} + \cdots + a_{r-1} b_{s+1} ) + a_{r} b_{s} + ( a_{r+1} b_{s-1} + \cdots + a_{r+s} b_{0} ) $$ であり、
- $a_{r}$の定義によって $$ p \mid ( a_{0} b_{r+s} + \cdots + a_{r-1} b_{s+1} ) $$
- $b_{s}$の定義によって $$ p \mid ( a_{r+1} b_{s-1} + \cdots + a_{r+s} b_{0} ) $$
である。しかし$p \nmid a_{r} b_{s}$なので、与えられた$p$は$f(x) g(x)$を割ることができない。これはすべての既約元についても同様なので、$f(x) g(x)$は原始的である。
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[4]
$f(x) \in D[x]$の次数が$n$であるとしよう。
すると$f(x)$は$r \le n$個の因数に因数分解され、 $$ f (x) = g_{1} (x) \cdots g_{r} (x)) $$ のように表すことができる。また、$i = 1 , \cdots , r$に対して、それぞれの因数を原始関数$h_{i} (x) \in D[x]$と$c_{i} \in D$の積である $$ g_{i} (x) = c_{i} h_{i} (x) $$ として表すことができる。このような$c_{i}$を$g_{i} (x)$のコンテントcontentと呼び、これを通じて $$ f(x) = c_{1} h_{1} (x) \cdots c_{r} h_{r} (x) $$ を得る。コンテントは与えられた$g_{i} (x)$と$h_{i} (x)$に対して一意なので、$f(x)$は因数の順序と定数倍を考慮しなければ一意に因数分解される。
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[5]
- [2]: $F$が体ならば、定数関数でないすべての$f(x) \in F [ x ]$は既約元たちの積に因数分解され、その方法は一意である。
UFDの定義によって$F [x_{1} ]$はUFDであり、定理 [4] によって$F [ x_{1} , x_{2} ]$もまたUFDである。これを有限な$x_{3} , \cdots , x_{n}$に対して繰り返せば、$F[ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$がUFDであるという結論を得ることができる。
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