📂抽象代数

巡回群の部分群が巡回群であることの証明

定義 ¹

巡回群$G$の部分群$ H \leqslant G$は巡回群である。

説明

少し考えてみれば当然の事実だが、かなり重要な定理であるだけでなく、証明もまた単純とは限らない。

証明

$H = \left\{ e \right\}$の場合、$H = \left< e \right>$であるから巡回群である。

$H \ne \left\{ e \right\}$の場合、ある自然数$n$に対して$a^{n} \in H$が成り立ち、これを満たす最小の自然数を$m$としよう。$c := a^m$のとき$H = \left< a^m \right> = \left< c \right>$が成り立つことを示せば証明は終わる。

すべての$b \in H$について$b = a^{n} \in G$が成り立ち、ある$q , r \in \mathbb{N}$に対して$n = m q + r$が成り立つ。ここで$ 0 \le r < m$とすると、$q$と$r$はただ一つに定まる。 $$ a^{n} = a^{mq + r} = (a^{m})^{q} a^{r} $$ であり、$a^{r}$について整理すると $$ a^{r} = (a^{m})^{-q} a^{n} \\ a^{n} = b \in H $$ であり、$a^{m} \in H$であると同時に$H$もまた群であるから、$(a^{m})^{-q}$と$a^{n}$は$H$に含まれる。したがって $$ (a^{m})^{-q} a^{n} = a^{r} \in H $$ である。一方で、$m$は$a^{m} \in H$を満たす最小の自然数であり、すべての場合のうち$0 \le r < m$を満たすのは$r = 0$のみである。結局$r = 0$でなければならず、 $$ b = a^{n} = a^{mq} = (a^{m})^{q} = c^{q} $$ である。すべての元が$c$のべき乗で表せるので、$H = \left< c \right>$は巡回群である。

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