📂抽象代数

抽象代数学における軌道、巡回、転位

定義 ¹

$\sigma$を群 $G$に対する順列とすると、$a, b \in G$に対する同値関係 $\sim$は、$b=\sigma^n (a)$を満たす整数$n \in \mathbb{Z}$が存在するとき$a \sim b$と定義される。

1. $\sim$の同値類を$\sigma$の軌道^orbitという。
2. 元が二つ以上の軌道を高々一つだけ持つ順列を巡回^cycleという。
3. 巡回が持つ軌道のうち最も基数が大きい軌道の基数を、巡回の長さ^lengthという。
4. 長さが$2$の巡回を転位^{transposition}という。
5. 巡回に対応する軌道が元を共有しないとき互いに素^disjointという。

説明

定義だけ見ても理解できないのが普通なので、実際の例を見ていくことにしよう。

軌道

$S_{8}$における順列 $$ \sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 6 & 7 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} $$ を考えてみよう。上の表現は $$ 1 \to 3 \to 6 \to 1 \\ 2 \to 8 \to 2 \\ 4 \to 7 \to 5 \to 4 $$ を表す。したがって同値関係 $\sim$は次の三つの同値類を決定する。 $$ \left\{ 1, 3, 6 \right\} \\ \left\{ 2, 8 \right\} \\ \left\{ 4 , 5 , 7 \right\} $$

巡回

$S_{5}$における順列 $$ \mu_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \end{bmatrix} $$ を考えてみよう。上の順列は$1 \to 3 \to 5 \to 4 \to 1$であり、変わらない$2$を除いて$(1,3,5,4)$とだけ表してもよい。注意すべきは、このような表現を使うときは順序が重要であり、$(1,3,5,4) = (3,5,4,1)$であるが$(1,3,5,4) \ne (1,5,3,4)$であるということだ。また、 $$ \mu_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} $$ を考えると、$(1,2)$は$3$があることすら表現されないので、$S_{3}$における$(1,2)$であることを確実に明示しなければならない。

長さ

巡回 $$ \mu_{1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 2 & 5 & 1 & 4 \end{bmatrix} $$ の軌道は $$ \left\{ 1,3,4,5 \right\} \\ \left\{ 2 \right\} $$ の二つだけである。このとき$ | \left\{ 1,3,4,5 \right\} | = 4$と$| \left\{ 2 \right\} | =1 $であるので、$\mu_{1}$の長さは$4$となる。

転位

巡回 $$ \mu_{2} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} = (1,2) $$ は長さが$2$なので転位である。簡単に言えば、二つの元だけを交換する巡回である。一般に、 $$ (1,2, \cdots , n) = (1, n) (1, n-1 ) \cdots (1,3) (1,2) $$ と表すことができる。もし$3$を基準に置きたければ、 $$ (1,2, \cdots , n) = (3, 4, \cdots , n , 1, 2 ) = (3 , 2) (3, 1) \cdots (3,4) $$ に変えればよい。かなり有用な性質なので必ず覚えておこう。

互いに素

$$ \sigma = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ 3 & 8 & 6 & 7 & 4 & 1 & 5 & 2 \end{bmatrix} = (1,3,6) (2,8) (4,7,5) $$ を考えてみよう。三つの巡回$(1,3,6)$と$(2,8)$そして$(4,7,5)$は、対応する軌道が元を共有しないので互いに素である。この表現から分かるのは、 $$ (1,3,6) (2,8) (4,7,5) = (4,7,5) (2,8) (1,3,6) $$ と表しても全く問題ないということである。順列は巡回の積で表現しても構わず、このような積を同じものと見なせば軌道は一意に決定される。

定理