📂抽象代数

単元を持つイデアル

定理¹

• [1]: 単位元$1$を持つ環$R$のイデアル$I$が単元を持つなら$I = R$
• [2]: 体$F$は$\left\{ 0 \right\}$、$F$以外のイデアルを持たない。

説明

定理[1]は、イデアルに単元があるというだけで全体になってしまうという定理で、背理法を使った証明に頻繁に使われる補助定理だ。また、単位元は単元であるという点から、まともなイデアルであれば$1$を持たないことを保証してくれるものでもある。例として$\mathbb{Z}$のイデアルは $$ n \mathbb{Z} = \left\{ \cdots , -2n , -n , 0 , n , 2n , \cdots \right\} $$ のようなものがあり、$1$が含まれた瞬間$1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$そのものになる。

定理[2]は、体がまともな^{proper Nontrivial}イデアルを持てないという意味だ。これは事実上、イデアルが環だけの概念であるということを示唆している。

証明

[1]

$I$に含まれる単元の一つを$u$としよう。

$r : = u^{-1}$と置くと$u^{-1} u = 1$であり、$r I \subset I$なので$r \cdot u = 1 $もまた$I$に含まれる。イデアルの定義からすべての$r \in R$に対して$r I \subset I$であったので、$r \cdot 1 = r \in I$であり$R \subset I$

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[2]

$F$は体であるため$0$でないすべての元が単元であり、定理[1]によって$\left\{ 0 \right\}$以外のイデアルは$F$になる。

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