📂抽象代数

多項式関数の環

定義¹

$$ f(x) : = \sum_{k=0}^{n} a_{k} x^{k} = a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} $$ 環$R$の多項式関数^polynomial$f(x)$を上のように定義する。

1. $a_{i} \in R$たちを$f(x)$の係数^coefficientという。
2. $n < \infty$ならば$n$を$f(x)$の次数^degreeという。
3. $R[x]$は$R$の元を係数として持つ有限多項式関数を集めた集合である。 $$ R[x] := \left\{ a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} \ | \ a_{0}, \cdots , a_{n} \in R \right\} $$
4. $R[[x]]$は$R$の元を係数として持つ無限多項式関数を集めた集合である。 $$ R[[x]] := \left\{ a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n} + \cdots \ | \ a_{0}, \cdots , a_{n} , \cdots \in R \right\} $$

説明

遠回りに遠回りを重ねて、ついに中学・高校で習った「代数学」に戻ってきた。いまさら多項式関数を定義する理由は、多項「式」を群、環、体のある元として見て扱うためである。

これについて次の重要な定理を知っておくべきである。大したことがないように見えるが、多項式の環が元の環の有用な性質を保存することを保証してくれる事実である。

定理

• [3]: $R$が単位元 $1 \ne 0$ を持てば、$R[x]$も単位元 $1 \ne 0$ を持つ。

これらの定理が$R[x]$について成り立てば、$R[[x]]$についても成り立つ。