📂抽象代数

すべての巡回群は可換群であることの証明

定理 ¹

すべての巡回群は可換群である。

説明

わざわざ別途証明しなくても、巡回群が整数群と同型であることを示せば自然に従う事実でもある。

証明

巡回群$G := \left< a \right>$について、$g_{1} = a^{r}$そして$g_{2} = a^{s}$としよう。 $$ g_{1} g_{2} = a^{r} a^{s} = a^{r+s} = a^{s+r} = a^{s} a^{r} = g_{2} g_{1} $$ であるから$G$は可換群である。

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