📂抽象代数

抽象代数学におけるイデアル

定義¹

環$(R , + , \cdot )$のすべての$a,b \in R$に対して$a I \subset I$と$I b \subset I$を満たす部分群$(I, +)$をイデアル^idealという。

説明

簡単な例として、$n \mathbb{Z}$は$\mathbb{Z}$のイデアルになる。イデアルという命名は文字通り理想的な^idealから来ている。抽象代数で扱うのに理想的な部分群だから、実際にそう呼ぶのである。

特に$R$が可換環であれば、$I$が$R$の正規部分群になるという意味で、単に$I \triangleleft R$とも書く。正規部分群が群論で重要だったように、イデアルも環論のあらゆる定理で重要な役割を果たすことが予想できる。よりによって環論と言うのは、イデアルが事実上環だけの概念だからである。

イデアル$I$は$R$の部分環である。

定義では群との対比を強調するために条件を満たす「部分群」としたが、実は自然に部分環にもなる。あえて証明まではしないが、なかなか納得できないなら$a I \subset I$と$I b \subset I$という条件をよく考えてみればよい。感覚的には、$I$は$R$のすべての元に対して「乗法を施したとき」にも依然として代数構造として存在し続けられるよう「持ちこたえた元の集合」である。常識的に、こうして作り出した$(I , \cdot )$は少なくとも$(R , + , \cdot)$に対して半群くらいにはなってくれるはずである。もちろんこの説明は数学的ではないので、どうしても疑わしければ部分環の判定法を使って直接確認してみよう。実は教科書によっては、そもそも定義から部分環として定義することもある。