📂抽象代数

因数定理の証明

定理¹

$f(x) \in F [ x ]$としよう。

$$ f(a) = 0 \iff f(x) = (x-a) q(x) $$

説明

中学校から嫌というほどやってきた因数分解の存在性を保証する定理だ。注意すべきことは、除法の定理や因数定理のような事実は、多項式の次数が有限のときに意味を持つということだ。

証明

$( \implies )$

除法の定理：$a_{n} \ne 0$と$b_{m} \ne 0$、そして$n > m > 0$に対して、$F [ x ]$の二つの元を $$ f(x) = a_{n} x^{n} + \cdots + a_{1} x + a_{0} \\ g(x) = b_{m} x^{m} + \cdots + b_{1} x + b_{0} $$ としよう。すると、$f(x) = g(x) q(x) + r(x)$を満たす$q(x), r(x) \in F [ x ]$が一意に存在する。$r$の次数は$m$より小さい。

除法の定理により、$f(x) = (x-a) q(x) + r(x)$を満たす$q(x) , r(x) \in F [ x ]$が一意に存在する。$(x -a )^{1}$の次数は$1$なので、$r(x)$の次数は$0$、すなわち、ある定数$c$に対して$r(x) = c$である。すると $$ f(x) = (x-a) q(x) + c $$ に$x = a$を代入すると $$ 0 = f(a) = 0 q(a) + c = c $$ である。したがって$f(x) = (x-a) q(x)$である。

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$( \impliedby )$ $$ f(x) = (x-a) q(x) $$ に$x = a$を代入すると、$f(a) = 0 q(a) = 0$を得る。

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