抽象代数学における核、カーネル
定義
$G, G'$の単位元$e, e'$と準同型写像$\phi : G \to G'$に対して、$\left\{ e' \right\}$の原像$\phi^{-1} [ \left\{ e' \right\} ]$を$\phi$の核kernelといい、$\ker \phi$と書く。
定理
- [1]: $g \in G$に対して$g ( \ker \phi ) = ( \ker \phi ) g$
- [2]: $\ker \phi \triangleleft G$
- [3]: $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ $\iff$ $\phi$は単射である。
- [4]: $\phi$が全射で$\ker \phi = \left\{ e \right\}$ならば、$\phi$は同型写像である。
説明
定理[3]は必要十分条件だが、特に準同型写像が単射であることを示すのに有用に使われる。線形代数学における零空間は、与えられた方程式に対する解集合としてのアイデンティティが強かった。
一方、抽象代数学では、少なくとも群論においては、$G$が何であれ正規部分群になることで「中心を保ってくれるもの」としての性格が強い。不思議なのは、定理[1]では$\phi$が実際にどのように定義されているのか、$G'$がどんな群なのかを気にすらしていないという点だ。定理だけを見れば、$G'$は$G$から放たれる$\phi$を受け止めるだけで、何の意味も持たないのである。
証明
[3]
$( \implies )$ $\ker \phi = \left\{ e \right\}$ならば、すべての$g \in G$に対して$\phi ( \left\{ g \right\} )$は正確に$\left\{ g \right\} = g \left\{ e \right\}$にのみ対応するので、$\phi$は単射である。
$( \impliedby )$ $\phi$が単射で$\phi (e) = e'$なので、$\ker \phi = \left\{ e \right\}$でなければならない。
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