📂抽象代数

抽象代数の用語で表現された代数学の基本定理

定義¹

体$F$の拡大体を$E$としよう。

1. $F [ x ]$のすべての多項式関数が$F$で零を持つならば、$F$は代数的に閉じている^{algebraically Closed}という。
2. $\overline{ F_{E}} : = \left\{ \alpha \in E \mid \alpha \text{ is algebraic over } F \right\}$を$E$における$F$の代数的閉包^{algebraic Closure}という。

定理

• [1]: $F$が代数的に閉じている $\iff$ すべての$f(x) \in F [ x ]$は$F [ x ]$の$1$次の因子に因数分解される。
• [2]: 代数的に閉じた$F$に対して、$F \lneq E$を満たす代数的拡大体$E$は存在しない。
• [4]: $\overline{ F_{E}}$は$E$の部分体である。

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• ここでいう多項式関数とは、当然、定数関数を除いた多項式関数を意味する。

説明

$\overline{F}$は、$E$まで拡張したとき$F$をカバーしながら、我々が代数的に得られる元の集合まですべて取り込んだ集合である。位相数学にある程度慣れているなら、$F$に導集合$f '$を合わせて得た閉集合$\overline{F} = F \cup f '$のような感覚で受け止めればよい。

これらの表現と定理を通じて、代数学の基本定理を次のように述べることができる。

複素数体$\mathbb{C}$は代数的に閉じている。

この言葉を紐解いて考えてみると、定理 [1]により複素数を係数に持つ多項式関数が$\mathbb{C} [ x ]$の$1$次の因子に因数分解されるということなので、重根を含めればちょうど最高次項の次数と同じ数の零点を持つことになる。これはすなわち、我々が元々知っていた代数学の基本定理と同値になる。

また、定理 [2]により、$\mathbb{C}$を真部分集合^{proper subset}として持つ代数的拡大体は存在しないことが保証される。これはすなわち$\mathbb{C}$より大きな体を考える理由がないという意味であり、事実上、我々が扱う体の中では$\mathbb{C}$が最も大きいというふうに受け止めても差し支えない。この事実は、関数解析学などで扱うベクトル空間でスカラー場を単に複素数体として研究することを正当化してくれる。

証明

複素解析で証明する。

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