📂抽象代数

抽象代数学におけるp-群

定義¹

有限群$G$の単位元を$e$とするとき、$g \in G$が$g^{n} = e$を満たす最小の$n \in \mathbb{N}$に対して$|g| = n$と表す。すべての$g \in G$と与えられた素数$p$に対して$|g| = p^{m}$を満たす整数$m \ge 0$が存在するとき、$G$を**$p$-群**^$p$-groupという。

説明

$|G| = p^{m}$ならば$p$-群であり、次のような定理が知られている。

定理

$X_{G} : = \left\{ x \in X \ | \ gx = x , g \in G \right\}$は作用に無関係な集合であり、$\displaystyle X_{G} = \bigcap_{ g \in G} X_{g}$のように表すことにする。有限群$G$が$|G| = p^{m}$であり、$X$が$G$-集合ならば $$ |X| \equiv |X_{G}| \pmod{p} $$

証明

$X$が$r$個の軌道を持つとしよう。各軌道から取り出した元を$x_{1} , \cdots , x_{r}$とすると $$ |X| = \sum_{i=1}^{r} | G x_{i} | $$ $s = |X_{G}|$とすると$0 \le s \le r$であり $$ |X| = |X_{G}| + \sum_{i=s+1}^{r} | G x_{i} | $$

等方部分群の性質: $X$が$G$-集合ならば$|Gx| = ( G : G_{x})$である。$G$が有限群ならば$|Gx|$は$|G|$の約数である。

$|G| = p^{m}$なので、その約数である$|Gx_{i}|$は$p$のべき乗として現れるしかない。したがって、ある$k \in \mathbb{Z}$に対して $$ |X| = |X_{G}| + p k $$ であり、合同の定義により次が成り立つ。 $$ |X| \equiv |X_{G}| \pmod{p} $$

■