📂抽象代数

体の自己同型写像

定義¹

$E$が$F$の拡大体だとしよう。

1. 体$E$に対して、同型写像$\sigma : E \to E$を自己同型写像^automorphismといい、$E$の自己同型写像の集合を$\text{Auto} (E)$のように表す。
2. $\sigma \in \text{Auto} (E)$に対して$\sigma ( a ) = a$ならば、$\sigma$が固定した$a$を残すという。
3. $S \subset \text{Auto} (E)$としよう。すべての$a \in F$に対してすべての$\sigma \in S$が固定した$a$を残すならば、$S$が固定した部分体$F$を残すという。
4. $\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E)$が固定した$F$を残すならば、$\sigma$が固定した$F$を残すという。
5. $\left\{ \sigma \right\} \subset \text{Auto} (E)$が固定した体$E_{ \left\{ \sigma \right\} }$を残すならば、$\sigma$が固定した体$E_{\sigma}$を残すという。
6. $F$を残す$E$のすべての自己同型写像の集合を$G ( E / F )$のように表し、$F$上の$E$の群という。

定理

• [1]: $\left< \text{Auto} ( E ) , \circ \right>$は群である。
• [2]: $G ( E / F) \le \text{Auto} ( E )$

例

言葉が非常に難しく複雑なので、それよりも例を通じて概念的に理解する方がよい。

$$ F = \mathbb{Q} ( \sqrt{2} ) \le \mathbb{Q} ( \sqrt{2} , \sqrt{3} ) = E $$ とすると、$(x^2 - 3) \in F [ x ]$は$F$上で既約元なので、$\sqrt{3} , \sqrt{-3}$は$E$上で共役である。共役同型写像定理により$\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } : E \to E$は同型写像であり、したがって$ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } \in \text{Auto} (E) $であることがわかる。

実際に関数$\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$を取ってみよう。$a,b,c,d \in \mathbb{Q}$に対して $$ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( a+ b \sqrt{2} + c \sqrt{3} + d \sqrt{6} ) = a+ b \sqrt{2} - c \sqrt{3} - c \sqrt{2} \sqrt{3} $$ であるが、すべての$( x + y \sqrt{2} ) \in \mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$に対しては

$$ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ( x + y \sqrt{2} ) = x + y \sqrt{2} $$ なので、$\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$は固定した$\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$を残すといえる。簡単にいえば、$\mathbb{Q} ( \sqrt{2} )$は$\psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} }$の影響を受けない部分体とみなせる。このような意味で「固定」や「残す」という表現を使うのである。

一方、恒等写像$I$と関数の合成演算$\circ$に対して $$ \left( \psi_{ \alpha , - \alpha } \circ \psi_{ \alpha , - \alpha } \right) = I $$ なので $$ \left< \left\{ I, \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} }, \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } , ( \psi_{ \sqrt{2} , - \sqrt{2} } \circ \psi_{ \sqrt{3} , - \sqrt{3} } ) \right\} , \circ \right> $$ は群をなすだけでなく、特にクラインの四元群と同型になる。

証明

[1]

• (i): 関数の合成$\circ$は結合法則を満たし、$\text{Auto} ( E )$の関数同士を合成すると$E$の自己同型写像になる。
• (ii): 恒等写像$I : E \to E$はすべての$a \in E$に対して$I (a) = a$なので自己同型写像であり、$I \in \text{Auto} ( E )$である。
• (iii): $\text{Auto} ( E )$は自己同型写像の集合なので、任意の$\sigma$に対してその逆写像$\sigma^{-1} \in \text{Auto} ( E )$が存在する。

■

[2]

• (i): 関数の合成$\circ$は結合法則を満たし、$\sigma , \tau \in G ( E / F )$と$a \in F$に対して $$ (\sigma \tau) = \sigma ( \tau ( a ) ) = \sigma (a) = a $$ なので$(\sigma \tau) \in G ( E / F )$である。
• (ii): 恒等写像$I$は$ G ( E / F )$の単位元になる。
• (iii): $\sigma ( a ) = a$ならば$a = \sigma^{-1} (a)$なので、$\sigma^{-1} \in G ( E / F )$である。

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