📂抽象代数

拡大体の定義とクロネッカーの定理の証明

拡大体の定義¹

体$F$に対して$F \le E$である$E$を$F$の拡大体^{extension field}という。

クロネッカーの定理

$f(x) \in F [ x ]$が定数でないとすると、$F$の拡大体$E$と$f ( \alpha ) = 0$である$\alpha \in E$が存在する。

説明

拡大体の例として、$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$の拡大体である。クロネッカーの定理は、いまのところ$F$では多項式の根が存在しないとしても、定義域を$E$に広げることができ、広げれば根が存在することを含意する。$F$がどんな形をしているかも知らないまま、とにかく拡張すれば根が存在するだろうというステートメント自体が、実に数学らしい定理だ。

証明

Part 1. $f(x)$は定数関数ではないので、$F$上で既約元に一意に因数分解され、その既約元の一つを$p(x)$としよう。 すると、主イデアル$\left< p(x) \right>$は$F [ x ]$の極大イデアルであり、$F [ x ] / \left< p(x) \right>$は体となる。

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Part 2. 拡大体$E$の存在性

写像$\psi : F \to F [ x ] / \left< p(x) \right>$を次のように定義すると、$\psi$は自然に準同型写像となる。 $$ \psi (a) := a + \left< p(x) \right> $$

もしある$a,b \in F$に対して$\psi (a) = \psi (b)$ならば $$ a + \left< p(x) \right> = b + \left< p(x) \right> $$ なので$(b-a) \in \left< p(x) \right>$であり、これは$(b-a)$が$p(x)$の定数倍であることを意味する。ところがそもそも$a, b \in F$なので$(b-a) \in F$であり、同時に$(b-a)$が$p(x)$の定数倍になるためには$(b-a) = 0$でなければならない。したがって$\psi$は単射となり、$\psi$は$F$の各元を$F [ x ] / \left< p(x) \right>$のある部分体へ送る同型写像となる。ここで具体的に$E := F [ x ] / \left< p(x) \right>$と定義すれば、$E$は$F$の拡大体となる。

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Part 3. 根$\alpha \in E$の存在性

$\alpha : = x + \left< p(x) \right>$とすれば、ひとまず$\alpha$ $\in E$である。この$\alpha$に対して代入関数$\phi_{\alpha} : F [ x ] \to E$を定義しよう。 上で既約元と定めた$p(x) \in F [ x ]$を具体的に$p(x) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$と表してみると

$$ \begin{align*} p ( \alpha) =& \phi_{\alpha} ( p(x) ) \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x + \left< p(x) \right> )^n \\ =& a_{0} + a_{1} ( x + \left< p(x) \right> ) + \cdots + a_{n} ( x^n + \left< p(x) \right> ) \\ =& \left( a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^n \right) + \left< p(x) \right> \\ =& p(x) + \left< p(x) \right> \\ =& 0 + \left< p(x) \right> \end{align*} $$

したがって$F [ x ] / \left< p(x) \right>$において$p( \alpha ) = 0$であり、$\alpha$は$f ( \alpha ) = 0$を満たす。

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