📂抽象代数

単純拡大体

定義¹

$F$の拡大体$E$がある$\alpha \in E$に対して$E = F( \alpha )$ならば、$E$を$F$の単純拡大体^{simple Extension}という。

説明

$F ( \alpha )$は簡単に言えば、$F$になかった$\alpha$を一つ^simpleだけ入れて拡張したものと見ることができる。実数体$\mathbb{R}$について言えば、その拡大体$\mathbb{C}$の$i \in \mathbb{C}$を入れると$\mathbb{R} ( i ) = \mathbb{C}$になる。

重要な事実として、$\alpha \in E$に対して$E = F ( \alpha )$ならば、すべての$\beta \in E$は $$ \beta = b_{0} + b_{1} \alpha + \cdots + b_{n} \alpha^n $$ のように一意に表される。このとき$\left\{ b_{k} \right\}_{k =1}^{n}$は$F$の元であり、実数体の単純拡大体としての複素数体を考えてみれば、すべての複素数$z \in \mathbb{C}$はある$x , y \in \mathbb{R}$に対して $$ z = x_{0} + y_{0} i + x_{1} i^2 + y_{1} i^3 + \cdots = x + i y $$ と表されることが簡単に確認できる。

一方、単純拡大体の面白い例として、整数に複素数$i$と$\omega$を添加したガウス整数 $\mathbb{Z} [i]$とアイゼンシュタイン整数 $\mathbb{Z} [\omega]$を考えることができる。