📂抽象代数

代数的数と超越数

定義¹

体$F$の拡大体を$E$としよう。定数関数でない$f(x) \in F [ x ]$に対して$f( \alpha ) = 0$を満たす$\alpha \in E$を$F$上で代数的^algebraicといい、代数的でなければ超越的^{transcendental}という。$F = \mathbb{Q}$、$E = \mathbb{C}$とするとき、$\alpha \in \mathbb{C}$が代数的であれば代数的数、超越的であれば超越数という。

説明

例えば$ f(x) = x^2 - 2 $という多項式関数があるとすると、$f(x) = 0$を満たす有理数の解は存在しないが、$\mathbb{Q}$から拡張された$\mathbb{R}$では$\sqrt{2}$という解が存在する。しかし$\pi$のような数の場合は、このような方法では導けない。したがって$\sqrt{2}$と$\pi$はどちらも無理数ではあるが、$\sqrt{2}$は代数的数、$\pi$は超越数という。

意外にも、代数的数と超越数自体は高校生から親しみやすく触れられる概念である。普通、高校課程で文系と理系を分けるのが超越関数の微積分だと聞くからである。そこでは普通、代数的数、超越数についての説明も伴う。

高校レベルでは、整数を係数に持つ多項方程式の解になり得れば代数的数、そうでなければ超越数だとよく説明される。これを抽象代数の言葉で言うときは、$F = \mathbb{Q}$、$E = \mathbb{C}$のようにきれいに縮めることができる。