📂抽象代数

抽象代数学における同型

定義 ¹

二つの二項演算構造$\left< S , * \right>$と$\left< S' , *' \right>$に対し、全単射関数$\phi : S \to S'$が存在し、すべての$x , y \in S$について $$ \phi (x \ast\ y) = \phi ( x ) *' \phi ( y ) $$ を満たすならば、$\phi$を同型写像と呼び、$S$と$S'$が同型^isomorphicであるといい、$S \simeq S'$と書く。

説明

定義を要約すると、演算を保存する全単射が存在すれば、実質的に互いに同じとみなすということである。必ずしも抽象代数でいう同型^isomorphismでなくとも、このような写像は数学全般で非常に重要である。

もし$\phi$が演算は保存するが全単射ではない場合、これを準同型写像^homomorphismという。このように、同型写像ではないがいくつかの重要な写像が存在し、それに関する研究も無数にある。

次は、同型写像によって単位元の同一性もまた保存されるという意味の定理である。

定理

同型写像$\phi$により$S \simeq S'$であり、$e$が$S$の単位元であれば、$\phi (e)$は$S'$の単位元である。

証明

$e$が$S$の単位元であるため、$s \in S$に対して $$ e \ast\ s = s \ast\ e = s $$

$$ \phi ( e \ast\ s ) = \phi ( s \ast\ e ) = \phi ( s ) $$ $\phi$が同型写像であるため、$s' : = \phi (s) \in S'$に対して $$ \phi ( e ) *' \phi ( s ) = \phi ( s ) *' \phi ( e ) = \phi ( s ) $$ したがって、$\phi (e)$は$S'$の単位元である。

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関連リンク

• グラフ理論における同型