零因子と整域

定義¹

環$R$に対して$ab = 0$を満たす$0$でない$a,b \in R$を零因子^{zero divisor}という。
単位元$1 \ne 0$を持つ$D$が零因子を持たなければ整域^{integral domain}という。

説明

零因子

$0$でないもの同士を掛けて$0$になる例としては $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ や $2 \cdot 3 \equiv 0 \pmod{6}$などがある。このように環では常に都合よく計算できるものだけを扱うわけではないため注意が必要である。これはたとえば$xy = 0$かつ$x \ne 0$ならば$y = 0$だ、というような主張ができないということである。

整域

整域はその略語であるIDともよく略記される。

整域の例としては簡単に整数の集合$\mathbb{Z}$を挙げることができる。そもそも整域の整Integralという言葉自体が整数Integerから来たものなので当然である。整域の良い点は、割り算をするとき$0$以外には悩む必要がないということである。整域では$x y = 0$ならば$x = 0$または$y = 0$であると確信できるので、代数構造として非常に有用である。

$R$が整域であるということは、$R$において乗法に対する消去法則^{cancellation law}が成り立つことを保証し、零因子を持たない環であるという点で体と関係が深い。次の有用な定理を見てみよう。

定理

[3] $p$が素数ならば$\mathbb{Z}_{p}$は体である。

証明

1

体$F$に対して$a \ne 0$かつ$ab = 0$ならば $$ \left( {{1} \over {a}} \right) (ab) = \left( {{1} \over {a}} \right) 0 = 0 $$ であり、同時に $$ \left[ \left( {{1} \over {a}} \right) a \right] b =1 b = b $$ が成り立つ。これは$ab= 0$ならばどちらか一方は必ず$0$でなければならないということなので、体の元は零因子になり得ず、$F$は整域である。

■

2

有限整域$D$の元のうち$0$を除いた残りの元を$1, a_{1} , \cdots , a_{n}$としよう。これに$a \ne 0$を掛けた $$ a, aa_{1} , \cdots , aa_{n} $$ を考えると、$D$が整域なのでこの中に$0$はない。

また整域では消去法則が成り立つので、$aa_{i} = aa_{j}$ならば$a_{i} = a_{j}$であることがわかる。つまり $$ a_{i} \ne a_{j} \implies aa_{i} \ne aa_{j} $$ ということであり、 $$ \left\{ 1, a_{1} , \cdots , a_{n} \right\} = \left\{ a, aa_{1} , \cdots , aa_{n} \right\} $$ を得る。従って$a \ne 0$に対しては常に$ab=1$を満たす$b \in \left\{ 1, a_{1} , \cdots , a_{n} \right\}$が存在することがわかる。$b$は$a$の乗法に対する逆元なので$D$は体である。

■

[3]

自明に$\mathbb{Z}_{p} = \left\{ 0 , 1, \cdots , p-1 \right\}$は有限集合である。ところが$p$が素数なので $$ ab \equiv 0 \pmod{p} $$ を満たす$0$でない$a,b \in \mathbb{Z}_{p}$は存在せず、$\mathbb{Z}_{p}$は整域であり、定理2により体である。

■

4

体$F$に対して$0^2 = 0$かつ$1^2 = 1$なので、$0$と$1$は$F$の冪等元である。$0$でも$1$でもない冪等元$a \in F$が存在すると仮定すると、$a^2 = a$なので$a( a-1) = 0$でなければならない。しかし定理1により$F$は整域なので零因子を持たず、これは仮定と矛盾する。

■

零因子と整域

定義1

説明

零因子

整域

定理

証明

1

2

[3]

4

関連リンク

定義¹