📂抽象代数

ガロア理論

定理¹

$K$が$F$の有限正規拡大体であり、$F \le E \le K$だとしよう。固定された$E$を残す$G ( K / F )$の部分群を$\lambda (E)$のように表そう。すると、写像$\lambda$は$F$と$K$の間のすべての$E$を$G ( K / F )$のすべての部分群に対応させる同型写像となる。$\lambda$は次の性質を持つ。

1. $\lambda ( E ) = G ( K / E )$
2. $E = K_{ G ( K / E ) } = K_{ \lambda (E) }$
3. $H \le G ( K / F )$に対して$\lambda ( K_{H} ) = H$
4. $[K : E] = | \lambda (E) |$であり、$[ E : F ] = \left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$である
5. $E$が$F$の正規拡大体である $\iff$ $\lambda (E)$が$G (K / F)$の正規部分群である。
6. $\lambda (E)$が$G ( K / F )$の正規部分群ならば$G (E / F) \simeq G ( K / F ) / G ( K / E )$

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• $[ E : F ]$は次数を意味する。
• $G(E / F)$は$F$上での$E$の群を意味する。
• $\left( G ( K / F ) : \lambda (E) \right)$は群論におけるインデックスを意味する。
• $K_{ \lambda (E) }$は$K$の中で$\lambda (E)$によって固定される元だけを集めた集合である。