📂抽象代数

偶数でありながら奇数でもある順列は存在しないことの証明

定義

有限 対称群 の 置換 が互換の積で偶数個で表せるなら 偶^even とし，奇数個で表せるなら 奇^odd とする。

置換の符号 $\sgn (\sigma)$ を次のように定義する。

$$ \sgn (\sigma) = \begin{cases} +1 & \text{$\sigma$ が偶置換である場合} \ -1 & \text{$\sigma$ が奇置換である場合} \end{cases} $$

説明

偶と奇の定義そのものはかなり自然であるが，定義だけを見ても偶であるか奇であるかの排他性があるとは言えない。次の定理で確認しよう。

定理 ¹

偶でありかつ奇である 置換 は存在しない。

証明

有限対称群 $S_{n}$ の互換 $\tau : = ( i , j )$ と置換 $\sigma$ を考えよう。

有限対称群のすべての置換は互いに素な巡回置換の合成として表せる。

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Case 1. $i$ と $j$ が $\sigma$ の異なる二つの軌道の元である場合

$i$ と $j$ は同じ 軌道 の元ではないので，ある $r, m \in \mathbb{Z}$ に対して互いに素な二つの 巡回置換 の積 $\sigma = (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r})$ のように表せる。すると 互換 の性質により $$ \begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m}) (j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*} $$ したがって $\tau \sigma$ は $i$ と $j$ が同じ軌道の元に属し，$\sigma$ と $\tau \sigma$ の軌道の数は $1$ だけ異なる。

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Case 2. $i$ と $j$ が $\sigma$ の一つの軌道の元である場合

$i$ と $j$ が同じ軌道の元であるため，ある $r, m \in \mathbb{Z}$ に対して $\sigma = ( i , i_{1} , \cdots , i_{m}, j , j_{1} , \cdots , j_{r} )$ のように表せる。すると互換の性質により $$ \begin{align*} \tau \sigma =& (i , j) \sigma \\ =& (i , j) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-1}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \left( i , j_{r-1} \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} , j , j_{1} , \cdots , j_{r-2}) \\ =& (i , j) \left( i , j_{r} \right) \cdots \left( i , j_{1} \right) \left( i , j \right) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (i , j , j_{1} , \cdots , j_{r}) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , j_{1} , \cdots , j_{r} , i) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& (i , j) (j , i) ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \\ =& ( j , j_{1} , \cdots , j_{r} ) (i , i_{1} , \cdots , i_{m} ) \end{align*} $$ である。したがって $\tau \sigma$ は $i$ と $j$ が異なる軌道の元に属し，$\sigma$ と $\tau \sigma$ の軌道の数は $1$ だけ異なる。

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これにより $\sigma$ と $\tau \sigma = (i , j ) \sigma$ の軌道の数の差は $i$ と $j$ が何であれ $1$ であることを確認した。つまり任意の置換に互換が一回掛けられるたびに軌道の数は $1$ ずつ変化するということである。

一方，恒等写像，すなわち $\iota = \begin{bmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ 1 & 2 & \cdots & n \end{bmatrix}$ の軌道の個数は $n$ である。

補題: 元が二つ以上の有限対称群のすべての置換は互換の積として表せる。

任意の置換 $\sigma$ を互換 $\tau_{k}$ たちによって表すと $\sigma = \tau_{1} \tau_{2} \cdots \tau_{m} \iota$ となり，軌道の個数は $n$ から1ずつ増えたり減ったりしてある整数になる。これは偶であると同時に奇であることはあり得ないので，置換 $\sigma$ もまた偶でありかつ奇であり得ない。

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更新履歴

• 23年9月4日, 류대식, Case 2 展開の修正および補強
• 26年4月28日, 류대식, 結論部分の修正