複素解析

"複素解析は国が許可した唯一のドラッグだ。"

勉強自体の難しさとは別に、もし複素解析が面白くなければ、数学という専攻自体を再考すべきかもしれない。

拡張

複素空間

• 複素数の定義 $z = x + iy$
  • 複素数の極座標表示 $z = r e^{i \theta}$
  • 複素数の符号 $\text{sign}$
  • $i$のべき乗と$e$のべき乗の関係
  • 実数の虚数乗の大きさは常に1である $\left| r^{i \theta} \right| = 1$
• 共役複素数 $\overline{z}$
• 複素空間の位相
  • 複素平面で実数軸の非開性 $\mathbb{R}^{\circ} \ne \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$
• リーマン球面 $\widetilde{\mathbb{C}}$

複素関数

• 複素関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$
• 三角関数と指数関数の関係
• 双曲線関数と指数関数の関係
• 多価関数と分岐
• 複素数に対して一般化された二項係数
  • 負の二項係数
• ド・モアブルの定理
  • ド・モアブルの定理を利用した三角関数の三倍角公式の導出
• エネストローム-カケヤ定理

連続性と導関数

• 複素関数の極限
• 解析的関数: 複素関数の連続と微分
  • 解析的連続
  • ビルチンガー微分
  • 逆関数定理
• コーシー・リーマン方程式
  • コーシー・リーマン方程式の逆が成り立つ条件

特異点

• 複素解析での特異点の種類
• 複素解析での零点
  • 有理型関数の零点と極

積分

• 複素関数の積分
• ML補助定理
• コーシーの定理
• 複素経路積分の収縮補助定理
• コーシー積分公式
  • ポアソン積分公式
• フレネル積分

コーシー積分公式の結果

• モレラの定理
• リウヴィルの定理
• ガウスの平均値定理
• 代数学の基本定理
• 最大絶対値定理
• シュヴァルツの補助定理
• ローシュの定理

級数

• ワイエルシュトラスM判定法
• 複素解析を用いたテイラー級数の導出
• ローラン級数とは？
  • ローラン級数の主要部と特異点の分類
  • コタンジェントとコセカントのローラン展開
• 留数定理
• 極での留数
• 単純極での留数
• 留数定理を用いた全ての整数に対する級数の和の公式
  • 複素解析を用いた平方数の逆数の和の計算

迂回積分

• 複素平面上での三角関数置換による定積分
• 発散する半円上の複素経路積分を通じた有理関数の異常積分
• ジョルダンの補助定理
• ジョルダンの補助定理を通した異常積分
• [実数軸の特異点を含む場合のジョルダンの補助定理による異

常積分](../../posts/373)

• 多価関数の異常積分

複素幾何

等角写像

• 等角写像とは？
  • 等角写像は内角の大きさを保存する
• 双線形変換
  • 拡張複素平面で円は双線形変換に対して不変である
  • 交差比
• 複素解析学での反転点
• 半円を象限に対応させる等角写像
• 扇形を円に対応させる等角写像
• 放物線を半平面に対応させる等角写像
• 等角写像としての指数関数
• 等角写像としての三角関数
• ジュコフスキー変換
• シュヴァルツ-クリストッフェル変換

主要参考文献

• Osborne (1999). Complex variables and their applications