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複素解析における逆関数定理の証明

定理 ¹

関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が $\alpha$ で解析的であり $f ' (\alpha) \ne 0$ ならば、$\mathcal{N} \left( f(\alpha) \right)$ で $f^{-1}$ が存在する。

説明

$f ' (\alpha) \ne 0$ という条件についてよく考えてみよう。

実関数として考えると増加関数あるいは減少関数であるということであり、これは逆関数が存在する条件となる。幾何的な表現を借りれば滑らかな^smooth関数を指し、これは急に方向を変えるような折れた点がないという意味である。逆関数定理で注意すべきことは、このような条件を満たしていてもその逆関数自体が存在するのではなく、局所的な限界があるということである。

証明

$w \in \mathcal{N} (f(\alpha))$ に対して方程式 $w = f(z)$ が一意な解を持つことを示せばよい。

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$$ \beta := f(\alpha) \\ g(z) := f(z) - \beta $$ とおくと $g(\alpha) = 0$ であり $g ' (\alpha) \ne 0$ である。つまり $\alpha$ は $g$ の単純零点であり、$|z - \alpha | \le \rho$ で $g(z) \ne 0$ を満たす $\rho >0$ が存在するということである。

円 $\mathscr{C}: |z - \alpha| = \rho$ に対して $$ m := \min_{\mathscr{C}} |g(z)| \\ |\gamma| < m $$ を満たす $h(z) := -\gamma$ を定義しよう。すると $\mathscr{C}$ で次が成り立つ。 $$ g(z) \ne 0 \\ |h(z) | = | - \gamma | = |\gamma| < m \le |g(z)|$$

ルーシェの定理: $g$ と $h$ が単純閉曲線 $\mathscr{C}$ で解析的であり $\mathscr{C}$ 上で $|h(z)| \le |g(z)|$ を満たすならば、$g$ と $g + h$ は $\mathscr{C}$ の内部で同じ数の零点を持つ。

ルーシェの定理により、$g$ と $g + h = g - \gamma$ は $\mathscr{C}$ の内部で同じ数の零点を持つ。

ところが先に見たように $g$ は単純零点 $\alpha$ 一つのみを持っていたので、$g(z) - \gamma = 0$ を満たす零点もまた $\mathscr{C}$ の内部でただ一つである。整理すると、方程式 $g(z) = \gamma$ が $\mathscr{C}$ の内部でただ一つの解のみを持つと言うことができる。

いま $w = \beta + \gamma$ とすると $$ f(z) - \beta = w - \beta $$ すなわち $w = f(z)$ が $\mathscr{C}$ の内部 $\mathcal{N}(\alpha): |z - \alpha| < \rho$ で一意な解を持つ。

関連リンク

• 解析学における逆関数定理

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