📂複素解析

複素解析における交差比

定義 ¹

拡張複素平面上の互いに異なる四つの点 $ z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ に対して、次を交差比^{cross Ratio}と定義する。 $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = {{( z_{1} - z_{4})( z_{3} - z_{2})} \over {(z_{1} - z_{2}) ( z_{3} - z_{4}) } } $$

説明

少し形を変えて $\displaystyle (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z ) = {{( z_{3} - z_{2}) } \over {(z_{1} - z_{2})} } \cdot {{ ( z - z_{1}) } \over { ( z - z_{3}) } }$ としてみると $$ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{1} ) = 0 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{2} ) = 1 \\ (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{3} ) = \infty $$ が成り立ち、少なくとも三点が登場するという点で、円あるいは直線を扱うのに有用であることは容易に推測できる。

ここで核心となるのは次の性質である。

定理

交差比は双一次変換に対して不変である。

証明

双一次変換 $f$ を $w_{k} = f ( z_{k} )$ と、交差比を $g(z) = (z_{1} , z_{2} , z_{3} , z )$ とおくと $$ g ( f^{-1} (w_{1}) ) = g (z_{1}) = 0 \\ g ( f^{-1} (w_{2}) ) = g (z_{2}) = 1 \\ g ( f^{-1} (w_{3}) ) = g (z_{3}) = \infty $$ すなわち $g \circ f^{-1}$ は $w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} \in \overline{ \mathbb{C} }$ に対する交差比となる。したがって $$ ( z_{1} , z_{2} , z_{3} , z_{4} ) = g(z_{4}) = g ( f^{-1} (w_{4} ) ) = ( w_{1} , w_{2} , w_{3} , w_{4} ) $$

■