コーシー積分公式の導出
定理 1
複素関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が単連結領域 $\mathscr{R}$ で解析的であるとしよう。
$\mathscr{R}$ に含まれる単純閉曲線 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ がある点 $\alpha$ を囲んでいるならば、次が成り立つ。 $$ f(\alpha) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz $$
導出
まず $\displaystyle 2 \pi i = \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ であることを示そう。
複素経路積分の収縮補助定理: $\mathscr{C}$内部で $\alpha$ を中心とする円 $\mathscr{C} '$ に対して $$\int_{\mathscr{C}} f(z) dz = \int_{\mathscr{C} '} f(z) dz$$
$\displaystyle \int_{\mathscr{C}} {{1} \over { z - \alpha }} dz$ の積分区間を円 $\mathscr{C} ': | z - \alpha | = \rho$ に収縮すると $z(\theta) = \rho e^{i \theta} + \alpha, -\pi \le \theta \le \pi$ であるから $$ \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz = \int_{-\pi}^{\pi} {{ i \rho e^{i \theta}} \over { \rho e^{i \theta} }} d\theta = 2 \pi i $$ ここで $\displaystyle I = \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz$ とおいて $I$ を求めてみると $$ \begin{align*} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz =& \int_{\mathscr{C} '} {{f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) \int_{\mathscr{C} '} {{1} \over { z - \alpha }} dz + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \\ =& f(\alpha) 2 \pi i + \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \end{align*} $$ $\displaystyle \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz = 0$ であることを示せば証明は終わる。
$f(z)$ は $z = \alpha$ で微分可能であるから、ある $M>0$ に対して $$ \left| {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} \right| \le M $$ $\mathscr{C} ' : | z - \alpha | = \rho$ であるから $\mathscr{C} '$ の長さは $2 \pi \rho$ である。
ML補助定理: $|f(z)| \le M$ を満たす正数 $M$ と $\mathscr{C}$ の長さ $L$ に対して $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$
ML補助定理により $$ \left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho M $$ ここで $z = \alpha$ を中心に複素経路積分の収縮補助定理を繰り返し使用すると考えてみよう。すなわち $$\mathscr{C}_n : | z - \alpha | = \rho_n \\ \mathscr{C}_{n+1} : | z - \alpha | = \rho_{n+1} \\ \rho_{n} > \rho_{n+1} $$ であるならば、$n \to \infty$ のとき $\rho_{n} \to 0$ である。すべての $\rho_{n} >0$ に対して $$ \left| \int_{\mathscr{C}_{n}} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| \le 2 \pi \rho_{n} M $$ が成り立つから $$ \left| \int_{\mathscr{C} '} {{f(z) - f(\alpha)} \over { z - \alpha }} dz \right| = 0 $$ ついに次を得る。 $$ \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { z - \alpha }} dz = f(\alpha) 2 \pi i $$
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説明
盲人が目を開き、足の不自由な者が跳ね起きるほどの公式である。数学的な美しさは言うまでもなく、あまりにも有用であるため、その衝撃は到底測り知れないほどである。特に積分に関しては、豊富な数学的結果が絶え間なく溢れ出るため、複素解析の華と呼ばれることもある。
系
一方、コーシー積分公式は $n$ 次微分係数について一般化が可能である。証明は一般化のために数学的帰納法を用いる点を除けば、コーシー積分公式の証明と本質的に異ならない。この公式はそれ自体でも非常に有用であるが、それ以上に重要な意味を内包している。
微分について一般化したコーシー積分公式
関数 $f: A \subseteq \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が単連結領域 $\mathscr{R}$ で解析的であるとしよう。
$\mathscr{R}$ に含まれる単純閉曲線 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ がある点 $\alpha$ を囲んでいるならば、自然数 $n$ に対して次が成り立つ。 $$ f^{(n)} (\alpha) = {{n!} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - \alpha)^{n+1} }} dz $$
ところが条件を読んでみると $f$ が何度も微分可能でなければならないという言及はないのに、$n$ 次微分係数を使用している。すなわち複素解析において一度微分可能な関数は無限回微分可能であるという意味になる。これは証明過程で保証される非常に強力な長所であり、実関数では簡単に断言できない性質である。このように複素解析は微分であれ積分であれあらゆる制限を取り払ってくれるため、驚くべき数学的結果が容易に演繹されざるを得ない。
無限の微分可能性 2
複素関数の導関数は解析的である。言い換えると、$f$ が $z \in \mathbb{C}$ で解析的ならば、すべての $n \in \mathbb{N}$ に対して $n$ 階導関数 $f^{(n)}$ もまた $z$ で解析的である。