📂複素解析

モレラの定理の証明

定理 ¹

複素関数 $f : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$ が単純連結領域 $\mathscr{R}$ で連続であり、$\mathscr{R}$ に含まれるすべての閉経路 $\mathscr{C} \subset \mathscr{R}$ に対して $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0$ を満たすならば、$f$ は $\mathscr{R}$ で解析的である。

説明

コーシーの定理の逆くらいに考えられるだろう。面白い点は、もともと「微分可能ならば連続、連続ならば積分可能」というのが解析学の常識だという事実である。ところがモレラの定理はむしろ積分を通じて関数の微分可能性を判別しているのだから、実に驚くべき定理でないはずがない。

証明 ²

$$ F(z) := \int_{z_{0}}^{z} f(w) dw $$ 固定された $z_{0} \in \mathscr{R}$ から任意の $z \in \mathscr{R}$ までの $f$ の複素経路積分を、上のように $z \in \mathscr{R}$ に対する関数 $F : \mathscr{R} \to \mathbb{C}$ として定義しようとする。まず、これが本当にきちんと定義される^well-definedかどうかから見てみよう。前提条件として、すべての閉経路 $\mathscr{C}$ で $\displaystyle \int_{\mathscr{C}} f(z) dz = 0$ と仮定していた。これによって、ある経路 $w_{0} : z \to z_{0}$ をどう固定しても $$ \int_{z_{0}}^{z} f(w) dw + \int_{w_{0}} f(u) du = 0 $$ であり、$F(z)$ が $z_{0}$ から $z$ までどの経路で積分しても常に同じ値を持つことがわかる。これによって、$F$ はただ $z$ の選択によって値が一つに決まる関数であることを確認した。

複素経路積分の基礎的性質によって ${{F(z+h) - F(z)}\over{h}} = {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw$ であるから $$ \begin{align*} & \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw - {{ 1 } \over { h }} h f(z) \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} f(w) dw - {{ 1 } \over { h }} \int_{z}^{z+h} f(z) dw \right| \\ =& \left| {{1} \over {h}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| \end{align*} $$ である。ここで $f$ が連続であるとしたので、与えられた $\varepsilon >0$ に対して $$ |h|< \delta \implies |f(z+h) - f(z)| < \varepsilon $$ を満たす $\delta$ が存在する。

ML補助定理: $|f(z)| \le M$ を満たす正数 $M$ と $\mathscr{C}$ の長さ $L$ に対して $$ \left| \int_{\mathscr{C}} f(z) dz \right| \le ML $$

ML補助定理によって $$ \left| {{F(z+h) - F(z)}\over{h}} - f(z) \right| = \left| {{1} \over {|h|}} \int_{z}^{z+h} (f(w) - f(z)) dw \right| < {{1} \over {|h|}} \varepsilon |h| = \varepsilon $$ したがって $$ f(z) = \lim_{h \to 0} {{F(z+h) - F(z)} \over {h}} = F ' (z) $$ である。すなわち、$f$ はある関数 $F$ の導関数である。複素解析では一度微分可能ならば無限回微分可能であるから、$F$ が微分可能ならば $f$ もまた微分可能である。

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