複素解析における三角関数と双曲線関数の関係
定義 1
複素関数としての双曲線関数$\sinh, \cosh : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$を以下のように定義しよう。 $$ \sinh z := { {e^{z} - e^{-z}} \over 2 } \\ \cosh z := { {e^{z} + e^{-z}} \over 2 } $$
定理 2
$$ \begin{align*} \sinh (iz) =& i \sin z \\ \sin (iz) =& i \sinh z \\ \cosh (iz) =& \cos z \\ \cos (iz) =& \cosh z \end{align*} $$
説明
双曲線関数に初めて触れるとき最も理解しがたいのが、まさに「なぜこのような定義を使うのか」という点である。実数上で三角関数は単位円の三角比で定義され、双曲線関数は指数関数の線形結合として現れるが、定義だけを見ては双曲線関数をなぜ三角関数の一種のように呼ぶのか納得しがたいのである。複素数上でこれらの関数を見て初めて、この体系がどれほどよく組み立てられていて直観的であるかを納得できる。
上の性質は三角関数で元々使われていた性質ともある程度文脈を共にする。
サイン関数は奇関数、コサイン関数は偶関数
$$ \sin (-\theta) = - \sin \theta \\ \cos (-\theta) = \cos \theta $$
$-1$が$\sin$の内外を自由に出入りし$\cos$に影響を及ぼさないように、$i$は$\sin$と$\sinh$の内外を自由に出入りし$\cos$と$\cosh$に影響を及ぼさない。異なる点は、$\sin$であれ$\cos$であれ$\text{h}$が付いたり外れたりする状態が反転するということである。複素数が陰と陽の区別を超えて、陰でも陽でもない$i$と$-i$の世界を作ったと考えてみれば、三角関数も$\sin$か$\cos$かを超えて$\sinh$と$\cosh$が必要なのである。
双曲線関数の周期性
$$ \sinh (ix) = i \sin x \\ \cosh (ix) = \cos x $$
一方、三角関数と双曲線関数の関係から、双曲線関数が純虚数において周期性を持つことを容易に確認できる。少し考えればすぐに分かるが、その性質に慣れていないときは一人で気づくのは難しい。
証明
複素解析における三角関数: $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$
$$ \sinh (iz) = { { e^{iz} - e^{-iz} } \over 2 } = i { { e^{iz} - e^{-iz} } \over {2 i} } = i \sin z $$
$$ \sin (iz) = { {e^{iiz} - e^{-iiz}} \over 2 i } = - i { {e^{-z} - e^{z}} \over 2 } = i \sinh z $$
$$ \cosh (iz) = { { e^{iz} + e^{-iz} } \over 2 } = \cos z $$
$$ \cos (iz) = { { e^{iiz} + e^{-iiz} } \over 2 } = { { e^{-z} + e^{z} } \over 2 } = \cosh z $$
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