📂複素解析

ローラン級数の主部と特異点の分類

概要¹

ローラン展開の主部^{principal part}をよく調べると、特異点の種類を把握できる。

$\alpha$を関数$f:A\subset \mathbb{C} \to \mathbb{C}$の孤立特異点としよう。このローラン展開 $$ f(z) = \sum_{n = 0 }^{\infty} a_{n} (z-\alpha) ^{n} + \sum_{n = 1 }^{\infty} { {b_{n} } \over{ (z-\alpha) ^{n} } } $$ について、数列$b_{n}$は以下の性質を持つ。

定理

• [1]: すべての$n$について$b_{n}=0$ $ \iff$ $\alpha$は除去可能特異点である。
• [2]: ある$m$について$b_{m} \ne 0$であり、$b_{m+1} = b_{m+2} = \cdots = 0$ $\iff$ $\alpha$は$m$次の極である。
• [3]: すべての$k$ではないが、$b_{k} \ne 0$を満たす$k$が無限に存在する。$\iff$ $\alpha$は真性特異点である。

説明

証明はあまり重要でなく、事実そのものも知っておいて損はない程度である。それでもたまにはこうした事実が役立つこともあるので、余裕があれば暗記し、なければこういう事実があったという程度に知っておこう。