📂複素解析

放物線を半平面に対応させる等角写像

定理 ¹

等角写像 $\displaystyle w = f(z) = z^{1/2}$は放物線を半平面に対応させる。

説明

$\mathbb{R}^2$で学んだことを思い返せば当然ではあるが、複素平面でも成り立つかどうかは確認が必要である。縦軸を基準にきれいに分割したいならば、$\xi = w - a$をもう一度取ってやればよい。

証明

$$ z = x + i y \\ w = u + i v $$ と置けば $$ z = w^2 = (u + iv)^2 = u^2 - v^2 + i 2 uv = x + iy $$ であるから $$ 4 u^2 (u^2 - x ) = y^2 $$ したがって、$y^2 = 4 a^2 (a^2 - x )$は$Z$平面における放物線であり、$f$によって$W$平面上の直線$u=a$に対応する。

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