📂複素解析

複素解析における多価関数と分岐

定義 ¹

1. $X = \mathbb{C}$の元を$Y$の複数の値に対応させる写像を多価関数^{multifunction}という。
2. オープン集合$A \subset \mathbb{C}$上で定義された多価関数$g$に対して、$\alpha \in \mathbb{C}$を囲み$A$内に置かれる閉曲線$\mathscr{C}$に沿って$z-\alpha$が$2\pi$だけ変わり続けたとき、値$g(z)$が元の値ではなくなるようにする$\mathscr{C}$が少なくとも一つ存在すれば、$\alpha$を分岐点^{branch point}という。
3. $\alpha$のすべての近傍が別の分岐点を含まず、分岐点$\alpha$から始まるただ一つの線分を分岐線^{branch Cut}という。
4. $g$から作られ、分岐線を除いたすべての場所で一つの値のみを持つようにする任意の関数を$g$の分岐^branchという。

説明

多価関数は複数の値を持つ関数であり、厳密に言えば関数ではない。

例

例として、複素解析では対数関数を$\text{Log} z := \log_{\mathbb{R}} |z| + i \arg z$とおき、$0 \in \mathbb{C}$を除くすべての点で定義する。ここで$\log_{\mathbb{R}}$は我々が元々知っていた対数関数であり、偏角^argument$\arg$は正の実軸を基準に反時計回りへの回転角を指す。このような定義に従い、関数$\text{Log}$は多価関数$\log$の分岐^branchとなる。

このとき$\log$はある$- \pi \le \theta_{0} <\pi$と整数$ n$に対して$\arg z = 2 n \pi + \theta_{0}$であるため、与えられた$z$に対して無限に多くの関数値を持つことになる。ここで虚部の値は半直線$\left\{ b + i0: b \in \left( -\infty , 0 \right] \right\}$を基準に$2 \pi$ごとに変わることになるが、このような軸を分岐線^{branch Cut}と呼ぶ。普通はこのような性質が必要ないため$n=0$に制限し、これを主分岐^{principal Branch}と呼ぶ。このような場合、偏角は$-\pi < \theta \le \pi$に制限され、従来の表現から大文字と小文字を区別して$\text{Arg}$のように表す。

一方、このような対数の定義をよく見てみると、このように値が$2 \pi$単位で飛ぶ線が必ずしも$\left( -\infty , 0 \right]$である必要はないことがわかる。異なって定義する必要があるか、あるいはただ自分がそうしたいなら、どの方向にでも新しく定義してかまわない。しかし、そのようなどんな可能性を考えても、原点$O$だけは必ず含めなければならないことがわかる。このようにすべての分岐線が共有する点を分岐点^{branch point}と呼ぶ。

特異点の分類がそうであったように、そもそも関数にもなれないものを無理に定義して言葉遊びをしているという考えがよぎるかもしれない。しかし、例として挙げた関数からして対数であるだけに、このような多価関数を扱うことはかなり真剣な問題であり、複素平面を扱う以上、分岐についての概念が確実でなければ、わかりそうで正確にはわからない地獄が続く。可能な限りあいまいに済ませず、一度できちんと勉強しておこう。

関連リンク

• 一般的な多価写像の定義: 実は「厳密に言えば関数ではない」といった説明が不要になりはするのだが、複素解析のような場では、いずれにせよ関数値が集合であると困るため、単に直観で定義を潰してしまった感がある。