📂複素解析

シュワルツの補題の証明

定理 ¹

単位円 $|z| \le 1$ で解析的な関数 $f$ について $f(0) = 0$ であり、$0 < |z| < 1$ で $|f(z)| \le 1$ であるとしよう。すると $0 < |z| < 1$ で $$ |f ' (0)| \le 1 \\ |f(z)| \le |z| $$

証明

もちろん一般性を失うことなく $|z| \le r$ に拡張できるが、証明の便宜のために単位円をとった。

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新しい関数 $g$ を $\displaystyle g(z) = \begin{cases} f(z) / z & , \text{if } 0 < \left| z \right| < 1 \\ f ' (0) & , \text{if } z = 0 \end{cases}$ のように定義しよう。

$\displaystyle \lim_{z \to 0} {{f(z)} \over {z}} = f '(0)$ であるから、$g$ は単位円の中で連続であるだけでなく解析的である。

$$ |g(z)| = \left| {{f(z)} \over {z}} \right| = {{1} \over {|z|}} | f(z) | \le {{1} \over {|z|}} $$

最大絶対値定理により $$ |g(z)| \le {{1}\over{|z|}} = 1 $$ したがって $$ |g(0)| = |f ' (0)| \le 1 $$ 一方、$|g(z)| \le 1$ の両辺に $|z|$ を掛けると $$ |z||g(z)| \le |z| $$ 再び整理すると $$ |z||g(z)| = \left| z {{f(z)} \over {z}} \right| = |f(z)| \le |z| $$

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