📂複素解析

複素解析における三角関数と指数関数の関係

定理 ¹

複素関数としてのサイン・コサイン関数 $\sin , \cos : \mathbb{C} \to \mathbb{C}$は次の通りである。 $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$

説明

実は定理というより、単に定義だと考えてもよい。このように定義したとき、既に明らかにされている定理と衝突しないことを示すためである。証明もまた、オイラーの公式として既に知っていたことを三角関数について整理しただけである。

証明

オイラーの公式 $\displaystyle { e }^{ ix }= \cos x + i \sin x$により $$ \begin{cases} { e }^{ iz }= \cos z + i \sin z \\ { e }^{ -iz }= \cos z - i \sin z \end{cases} $$ これらを三角関数について整理すると $$ \sin z = { {e^{iz} - e^{-iz}} \over 2 i } \\ \cos z = { {e^{iz} + e^{-iz}} \over 2 } $$

■