ド・モアブルの定理の証明
定理
$z = r \text{cis} \theta$ならば、すべての自然数$n$に対して$z^n = r^n \text{cis} n\theta$が成立する。
- $\text{cis} \theta: = \cos \theta + i \sin \theta$
証明
数学的帰納法を使おう。
$n=1$に対しては自明であり、$n=k$に対しても成立すると仮定すれば $$ z^{k+1} = z z^k = (r \text{cis} \theta)(r^k \text{cis} k\theta) $$ である。一方、 $z_1 z_2 = r_1 r_2 \text{cis} (\theta_1 + \theta_2)$であるから $$ z^{k+1} = r^{k+1} \text{cis} (k+1)\theta $$
$n=k$のとき$n=k+1$に対しても成立するので、与えられた式はすべての自然数に対して成立する。
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