📂複素解析

複素解析における特異点の種類

定義

特異点 ¹

1. 関数$f$が$\alpha$においてある$\mathcal{N}(\alpha)$のすべての点で微分可能であれば、$\alpha$で解析的^analyticであるという。
2. 関数$f$が$\alpha \in \mathbb{C}$では解析的ではないが、すべての$\mathcal{N}(\alpha)$のある点では解析的であるとき、$\alpha$を$f$の特異点^{singular point}と呼ぶ。
3. 特異点$\alpha$が、$\alpha$を除くすべての点で解析的な$\mathcal{N}(\alpha)$が存在するとき、$\alpha$は孤立^isolatedしているという。

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• $\mathcal{N}$はネイバーフッドであり、$\alpha$を含むオープンセットを意味する。

種類

$\alpha \in \mathbb{C}$を$f$の特異点としよう。

4. $\displaystyle \exists \lim_{z \to \alpha} f(z) \iff$ $\alpha$は除去可能な^removable特異点である。
5. $\displaystyle \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha)^n f(z) = k \ne 0 \iff$ $\alpha$は**$n$次の極**^{pole of Order $n$}である。
6. $\alpha$が極ではないか、分岐に関連している。$\iff$ $\alpha$は真性特異点^{essential singular point}である。

説明

極は特に$n=1$であれば単純極^{simple Pole}という。

実際、かなり変態的な場合でない限りは、普通$f$が定義されない点がすなわち特異点になる。

例えば、$\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}}$とすれば特異点は$z= \pm i$になるだろう。別に有限である必要もなく、$\csc z$の場合は$z = n \pi ( n \in \mathbb{Z} )$すべてが特異点である。一方$\text{Log} z$は$z= 0$で特異点を持つが、上で挙げた例たちとは少し異なるという感じがするだろう。

• $\displaystyle f(z) = {{z - i} \over {(z^2+1)(z+i)}}$において$z = i$は除去可能であり、$z = -i$は$2$次の極である。

• $\displaystyle \lim_{z \to n \pi} {{ z - n \pi } \over {\sin z }} = 1$であるから、$\csc z$の特異点たちはすべて$1$次の極、すなわち単純極たちである。

• 最後に$\text{Log} z$において$z = 0$は**分岐点**であるから、真性特異点である。

このような特異点の分類は一見何の意味もない定義遊びのように見えるが、後に続く積分に関する議論で非常に重要な概念となる。