📂複素解析

単純極における留数

定理 ¹

関数$f$を$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$と表せるとしよう。ここで$g$と$h$が$\alpha$で解析的であり、$g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = 0, h ' (\alpha) \ne 0$とすると、$\alpha$は$f$の単純極であり $$ \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{g(\alpha)} \over {h ' (\alpha)}} $$

$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$の形において$h$が多項式でなければならないわけではないので、これは単に極における留数を$m=1$に限定した定理とは言えない。条件さえよく満たせば、むしろより多くの種類の関数$h$をカバーできるため、活用は無尽蔵である。

一つよく理解しておくべきことは、定理をよく読んでみると、$f$が単純極$\alpha$を持つことは条件ではなく結果であるという点である。

$\alpha$は単純極であることを示さなければならないのではなく、示されるものであるから、$g$と$h$に対する条件だけ気にすればよい。

証明

仮定から$h ' (\alpha) \ne 0$であるので$\displaystyle H(z) = {{ h(z) - h(\alpha) } \over { z - \alpha }}$とおくと$H(\alpha) = h ' (\alpha) \ne 0$であり、仮定から$h(\alpha) = 0$であるので $$ f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}} = {{g(z)} \over {h(z) - h(\alpha) }} = {{g(z)} \over {(z - \alpha) H(z) }} $$ $g / H$は$\alpha$で解析的であり$\displaystyle {{g(\alpha)} \over {H(\alpha)}} \ne 0$であるので、$\alpha$は$f$の$1$次極点である。

極点における留数: $\alpha$が単純極であれば$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = \lim_{z \to \alpha} (z - \alpha) f(z)$

極点における留数は $$ \begin{align*} \text{Res}_{\alpha} f(z) =& \lim_{z \to \alpha} g(z) {{1} \over {H(z)}} \\ =& \lim_{z \to \alpha} g(z) \cdot \lim_{z \to \alpha} {{z - \alpha} \over {h(z) - h(\alpha) }} \\ =& g(\alpha) \cdot {{1} \over {h ' (\alpha) }} \end{align*} $$

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2次極点

一方、公式としての実用性は落ちるが、$2$について以下の定理が知られている。証明方法は本質的に単純極で行ったものと大きくは変わらない。

$2$次極における留数: 関数$f$を$\displaystyle f(z) = {{g(z)} \over {h(z)}}$と表せるとしよう。ここで$g$と$h$が$\alpha$で解析的であり、$g(\alpha) \ne 0 , h(\alpha) = h ' (\alpha) = 0, h’’(\alpha) \ne 0$とすると、$\alpha$は$f$の$2$次極点であり、 $$\displaystyle \text{Res}_{\alpha} f(z) = {{2g ' (\alpha)} \over {h’’(\alpha)}} - {{2g(\alpha) h’’’(\alpha) } \over {3 (h’’(\alpha))^2 }}$$