ガウスの平均値定理の証明
定理
関数 $f$ が閉じた円 $| z - z_{0} | \le r$ で解析的だとしよう。すると、 $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi}} \int_{0}^{2 \pi} f(z_{0} + r e ^{i \theta } ) d \theta $$
説明
微分の平均値の定理が一般化を経ていくつもの数学者の名前がついた変形定理を生み出したように、積分の平均値の定理にもなんとガウスの名前がついた変形が存在する。その形は疑いなく積分の平均値の定理そのものだが、概念をよく考えてみると必ずしも当然とは言えない定理だ。
証明
コーシーの積分公式: $$f (z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{\mathscr{C}} {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz$$
コーシーの積分公式により、 $$ f(z_{0}) = {{1} \over {2 \pi i }} \int_{ |z-z_{0} |= r } {{f(z)} \over { (z - z_{0}) }} dz $$ $z(\theta) = r e ^{ i \theta } + z_{0} , 0 \le \theta \le 2 \pi$ と置換すると、 $$ \begin{align*} f(z_{0}) =& {{1} \over {2 \pi i }} \int_{0}^{2 \pi} {{f( z_{0} + r e^{i \theta} )} \over { r e ^{ i \theta} }} i r e^{i \theta } d \theta \\ =& {{1} \over {2 \pi }} \int_{0}^{2 \pi} f( z_{0} + r e^{i \theta} ) d \theta \end{align*} $$
■